二 連續(xù)
（一）函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)
1 ．函數(shù)的連續(xù)性
設(shè) f （ x ）在 x 0的某鄰域內(nèi)有定義。
若
（ x ）= f （x0） ，則稱 f （x）在 x0 連續(xù);
若 
,則稱 f （ x ）在 x 0左連續(xù)；
若
，則稱 f （ x ）在 x0 右連續(xù)。
若函數(shù)f（ x ） 在區(qū)間i上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 f （ x ）在該區(qū)間上連續(xù)。特別，當(dāng)i = [ a , b ］時(shí), f （ x ）在 [ a ，b]上連續(xù)，是指 f （ x ）在（a， b ）內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，且在 a 處右連續(xù),在 b 處左連續(xù)。
2 ．函數(shù)的間斷點(diǎn)
由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義可知,函數(shù) f （ x ）在一點(diǎn) x 0處連續(xù)的條件是:
（ 1 ） f （ xo ）有定義；
（ 2 ） （ x ）存在；
（ 3 ） （ x ）= f （x0）。
若上述條件中任何一條不滿足, 則f （ x ）在 x 0處就不連續(xù)，不連續(xù)的點(diǎn)就稱函數(shù)的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)分成以下兩類：
第一類間斷點(diǎn)： x0是f （ x ）的間斷點(diǎn)，但f （x0-）及f （x0+）均存在；
第二類間斷點(diǎn)：不是第一類的間斷點(diǎn)。
在第一類間斷點(diǎn)中，若
` 
均存在但不相等,則稱這種間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)；若 f （ x0-） , f （ xo +
）均存在而且相等，則稱這種間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)。
（二）初等函數(shù)的連續(xù)性
1 ．基本初等函數(shù)和初等函數(shù)
冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、時(shí)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。
由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。
2 ．初等函數(shù)的連續(xù)性
一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，這里的“定義區(qū)間”是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。
（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
設(shè)函數(shù) f （ x ）在閉區(qū)間 [a ，b]上連續(xù)，則
（ l ） f （ x ）在［ a ，b］上有界（有界性定理） ;
（ 2 ） f （ x ）在[ a ，b]上必有最大值和最小值（最大值最小值定理） ;
（ 3 ）當(dāng) f （ a ） f （b） < 0 時(shí)，在（ a ，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f （ξ） = 0 （零點(diǎn)定理；
（ 4 ）對(duì)介于 f （ a ） = a 及 f （ b ） = b 之間的任一數(shù)值c ，在（ a , b ）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f （ξ）=c （介值定理）。