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第五節(jié)   微分方程

 

一、基本概念

（一）微分方程

表示未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、自變量之間的關(guān)系的方程，稱(chēng)為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階。

 

（二）微分方程的解、通解

微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，把這函數(shù)代人微分方程能使該方程成為恒等式。確切地說(shuō)，對(duì)于n階微分方程

那么函數(shù)就稱(chēng)為微分方程（ 1 - 5 - l ）在區(qū)間 i 上的解。

如果二元代數(shù)方程所確定的隱函數(shù)是某微分方程的解，那么稱(chēng)為該微分方程的隱式解。

含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的微分方程的解，稱(chēng)為n階微分方程的通解。

 

（三）初始條件與特解

能用來(lái)確定通解中的任意常數(shù)的條件稱(chēng)為初始條件。通常一階微分方程的初始條件為；二階微分方程卯初始條件為，。

通解中的任意常數(shù)全都確定后，就得到一個(gè)確定的解，稱(chēng)為微分方程的特解。

（四）例題

【 例1- 5 - l 】驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解。

【 證 】

代人方程有

所給方程是二階的，所給函數(shù)中恰好含 c_l 、 c₂ 兩個(gè)任意常數(shù)，且因常數(shù)，故這兩個(gè)任意常數(shù)不能合并成一個(gè)，即它們是相互獨(dú)立的，因此所給函數(shù)是所給方程的通解。

二、可分離變量的方程

一階微分方程

稱(chēng)為可分離變量的方程。把式中的 y 和 dy 歸人方程的一端，x 和 dx 歸人另一端，成為

      

這一步驟稱(chēng)為分離變量。分離變量后，兩端可分別積分

設(shè) g （y）、 f （ x ）的原函數(shù)依次為 g （y）與 f（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解

【 例1- 5-2 】xoy平面上一條曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（ 2, 3 ） ，它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線(xiàn)段均

被切點(diǎn)所平分，求它的方程。

【 解 】 設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)為（ x ，y），依題意，曲線(xiàn)在點(diǎn)（x，y）的切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距應(yīng)為 2x 及 2y , （圖 1-5-1 ） ，切線(xiàn)斜率為，因此有

初始條件為x＝ 2 時(shí) y = 3 。

分離變量得

積分得

以初始條件代入得 c₁ = 6 ，故所求曲線(xiàn)方程為

三、一階線(xiàn)性方程

方程

稱(chēng)為一階線(xiàn)性方程。當(dāng)時(shí)，式（ 1 - 53 ）稱(chēng)為線(xiàn)性齊次方程；當(dāng)時(shí)，式（ 1 - 53 ）稱(chēng)為線(xiàn)性非齊次方程。

線(xiàn)性齊次方程是一個(gè)變量可分離的方程。經(jīng)分離變量并積分，即得通解

為解非齊次方程（ 1-5-3 ) ，可作變換，代入方程得

整理得

積分得

于是得方程（ 1-5-3 ）的通解

例題

1．求方程的通解。

 

【解 】 利用一階線(xiàn)性方程的通解公式（ 1-5-4 ）來(lái)求解，為此，把所給方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式

這里

代入公式（ 15 - 4 ) ，得

2．已知微分方程的一個(gè)特解為，則此微分方程的通解是

【解 】 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

根據(jù)線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)可知原微分方程的通解為

故應(yīng)選（ c ）。