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（三）逆陣

對于 n 階方陣 a ，若存在 n 階方陣 b ，使

則稱方陣 a 是可逆的， b 是 a 的逆陣，記作 a ^-1 。

對于可逆矩陣有：

當(dāng) a 可逆時(shí)，規(guī)定 a⁰＝ e ,a ^-k = ( a ^-l ) ^k 。

由|a|的代數(shù)余子式a_ij所構(gòu)成的，階方陣

稱為方陣 a 的伴隨陣。根據(jù)行列式性質(zhì) 8 和 9 ，可得

定理 n 階方陣 a 可逆的充分必要條件是|a|≠0。當(dāng)|a|≠0  時(shí)，

由定理可知，可逆陣就是非奇異陣，不可逆矩陣就是奇異陣。

（四）矩陣的初等變換

1 ．矩陣的初等變換與矩陣的等價(jià)

下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

初等變換是可逆的。這就是說，若矩陣 a 經(jīng)初等變換變?yōu)?/span> b ，則 b 亦可經(jīng)初等變換變?yōu)?/span> a 。

若矩陣 a 經(jīng)初等變換變?yōu)?/span> b ，則稱矩陣 a 與 b 等價(jià)，記作 a ~ b 。

a_m×n~b _m×n，的充分必要條件是：存在脫階可逆陣p和 n 階可逆陣 q ，使paq = b。

方陣 a 可逆的充分必要條件是 a ~ e 。

 

2 ．行階梯形及標(biāo)準(zhǔn)形

矩陣經(jīng)初等行變換可變?yōu)樾须A梯形和行最簡形，再經(jīng)初等列變換可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形。例如：

上面最后一個(gè)矩陣稱為行階梯形，它的特點(diǎn)是每個(gè)階梯只有一行。繼續(xù)施行初等行變換，可把它化成行最簡形：

上面最后一個(gè)矩陣稱為行最簡形，它的特點(diǎn)是行階梯形中非零行的第一個(gè)非零元素為1，且含這些元素的列的其他元素都是零。再施行初等列變換，可把它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形：

上面最后一個(gè)矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形，它的特點(diǎn)是：左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素都是零。

把矩陣化為行階梯形和行最簡形，是矩陣求秩和解線性方程組的有效手段。矩陣的許多運(yùn)算都可以通過初等變換來實(shí)現(xiàn)。

 

3 ．用初等變換求逆陣

當(dāng)方陣 a 可逆時(shí)， a 可經(jīng)初等行變換變?yōu)?/span> e ，因此對n ×2n矩陣（ a | e ）施行行變換，當(dāng)把 a 化為 e 時(shí)， e 就化為 a^-1。

 

（五）矩陣的秩

定義在矩陣 a 中任取 k 行 k 列，這些行列交叉處的元素按它們在 a 中的排列所構(gòu)成的行列式，稱為矩陣 a 的 k 階子式。

m ×n矩陣共有c^k_mc^k_n個(gè) k 階子式。

定義如果在矩陣 a 中有一個(gè) r 階非零子式 dr ，而所有 r + 1 階子式全等于 0 ，那么 dr 稱為矩陣 a 的最高階非零子式，數(shù)，稱為 a 的秩，記作 r ( a ）。零矩陣沒有非零子式，規(guī)定零矩陣的秩為 0。

定理若 a ~ b ，則 r ( a ) = r ( b ）。

這一定理說明初等變換不改變矩陣的秩，因此，當(dāng)把矩陣變?yōu)樾须A梯形，即可看出矩陣的秩，因?yàn)樾须A梯形的秩就等于非零行的行數(shù)。由此還可知，若 r ( a ) = r ，則 a 的標(biāo)準(zhǔn)形左上角為 r 階單位陣，矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形由其行數(shù) m 、列數(shù)n及秩 r 所完全確定。

（六）例題

 

【 例 1-8 -5 】設(shè) a 、 b 為n階方陣，ab＝ o ，則

( a ) a = o 或 b = o             

( b ）ba＝ o

( c ) （ba）² = o       

( d ) ( a + b ) ² = a² ＋b ²

【 解 】 由兩個(gè)非零矩陣的乘積可以是零矩陣，知（ a ）不成立；由矩陣乘法不滿足交換律，估計(jì)（ b ）、（ d ）不成立；而（ ba ) ² ＝baba＝ boa＝ o 知（ c ）成立，故選 ( c ）。

 

因此

 

三、  n 維向量

（一） n 維向量

n 個(gè)有序數(shù) a_l , a₂ ， … ，a_n所組成的數(shù)組

α=（α₁，α₂…α_n）

稱為 n 維向量。

為了溝通向量與矩陣的聯(lián)系，，維向量亦記作

并把 α稱為行向量， a 稱為列向量。行向量即行矩陣，列向量即列矩陣，規(guī)定向量與矩陣一樣進(jìn)行運(yùn)算， α^t = a , a^t = "α；行向量與列向量不能相加。

m 個(gè) n 維列向量

所組成的向量組可對應(yīng)一個(gè) n×m 矩陣

反之，一個(gè) m×n矩陣a有 m 個(gè)n維行向量，這些行向量所組成的向量組稱為矩陣a 。的行向量組；同時(shí)， a 又有n個(gè) m 維列向量，這些列向量所組成的向量組稱為 a 的列向量組。

（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

定義  設(shè)有向量組 a : α₁, α₂， … ，α_m 與向量β ，如果有一組數(shù) k_l , k₂， … ， k_m使

則稱向量β是向量組α₁, α₂， … ，α_m的線性組合，或稱β可由α₁, α₂， … ，α_m，線性表出

定義設(shè)有向量組 a : α₁, α₂， … ，α_m，如果有一組不全為 0 的數(shù) k_l , k₂， … ，k_m使

則說向量組 a 是線性相關(guān)的，否則說向量組 a 是線性無關(guān)的。

這時(shí)，向量組 a 線性相關(guān)，也就是線性方程組。

有非零解，而向量組 a 線性無關(guān)也就是上列線性方程組沒有非零解。

這時(shí)，向量組 a 是否線性相關(guān)，也就是線性方程組

是否有非零解。

定理設(shè)向量組 α₁, α₂， … ，α_m線性無關(guān)，而向量組α₁, α₂， … ，α_m，β線性相關(guān)，則β可由 α₁, α₂， … ，α_m線性表示，且表示式是唯一的。