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（三）向量組的秩

定義設(shè)有向量組 a ( a 可以含有限個(gè)向量，也可以含無限多個(gè)向量），如果在 a 中能選出 r 個(gè)向量 α₁, α₂， … ，α_r，滿足

( i ) α₁, α₂， … ，α_r線性無關(guān)；

( ii ) a 中任意 r 十 1 個(gè)向量都線性相關(guān)。

則向量組α₁, α₂， … ，α_r稱為向量組 a 的最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組），數(shù) r 稱為向量組 a 的秩。只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為 0。

按此定義可知：向量組 a 線性相關(guān)的充分必要條件是 a 的秩小于 a 所含向量的個(gè)數(shù)；線性無關(guān)的充分必要條件是 a 的秩等于 a 所含向量的個(gè)數(shù)。

定義設(shè)有兩個(gè)向量組 a 與 b ，如果 a 中每個(gè)向量都能由向量組 b 線性表示，則稱向量組 a 能由向量組 b 線性表示。如果向量組 a 與 b 能相互線性表示，則稱向量組 a 與 b 等價(jià)。

顯然，一個(gè)向量組與它自己的最大無關(guān)組等價(jià)。

定理若向量組 a 能由向量組 b 線性表示，則向量組 a 的秩不大于向量組 b 的秩。若向量組 a 與 b 等價(jià)，則它們的秩相等。

注意向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)是兩個(gè)不同的概念，不要混淆。

定理若矩陣 a 經(jīng)行變換變?yōu)榫仃?/span> b ，則 a 的行向量組與召的行向量組等價(jià)；若矩陣 a 經(jīng)列變換變?yōu)?/span> b ，則 a 與 b 的列向量組等價(jià)；矩陣 a 的行向量組的秩以及列向量組的秩都等于矩陣 a 的秩。

由上述兩定理可推知

( i ）設(shè) n 個(gè) n 維向量構(gòu)成方陣 a ，則此n個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是| a | =0。

( ii ）設(shè) dr 是矩陣 a 的最高階非零子式，則 dr 所對應(yīng)的 r 個(gè)行向量即是 a 的行向量組的最大無關(guān)組， dr 所對應(yīng)的r個(gè)列向量即是 a 的列向量組的最大無關(guān)組。

( iii ）設(shè) c ＝ab，則r（ c ）≤ r ( a ) , r ( c ) ≤（ b ）。當(dāng)b可逆時(shí)， r ( c ) = r ( a ) ，當(dāng) a 可逆時(shí)， r ( c ) = r ( b ）。

（五）例題

[ 例 1 - 8 - 9 ］設(shè) a 為n階方陣，且| a | =0，則必有

( a ) a 中某一行元素全為 0

( b ) a 的第n行是其余，n - 1 行的線性組合

( c ) a 中有兩列對應(yīng)元素成比例

( d ) a 中某一列是其余 n - 1 列的線性組合

【解】 | a | =0是 a 的、行（列）線性相關(guān)的充分必要條件，而前三項(xiàng)都是充分條件而是非必要條件，只有（ d ）是充分必要條件，故應(yīng)選（ d ）。

【解】（ b ）和（ c ）是必要條件但不是充分條件； ( d ）是充分條件但不是必要條件。（ a ）是線性無關(guān)定義的正確敘述，故應(yīng)選（ a ）。

故 r ( a ) = 3 ，從而列向量組的秩為 3 。由階梯形矩陣知1，2 , 5 列中有 3 階非零子式，故 a_l , a₂, a₅ 是列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。

四、線性方程組

（一）齊次線性方程組

1 . n 個(gè)變量 m 個(gè)方程的齊次線性方程組

記

則方程組（ 1 - 83 ）可記作

其中 a 稱為方程組（ 1 - 8 - 3 ）的系數(shù)矩陣。式（ 1 - 8 - 4 ）是一個(gè)向量方程，它的解稱為方程組（ 1 - 8 - 3 ）的解向量。

2 ．齊次線性方程組通解齊次線性方程組（ 1 – 8-3 ）的全體解向量所組成的向量組記作 s , s 的最大無關(guān)組稱為齊次線性方程組（ 1 -8-3 ）的基礎(chǔ)解系。

定理設(shè)齊次線性方程組（ 1 – 8-3 ）的系數(shù)矩陣 a 的秩 r ( a ) = r , ，則其解集 s 的秩為 n - r ，即它的基礎(chǔ)解系含n - r 個(gè)線性無關(guān)的解向量。

其中 k_l ，k₂， … ， k _n-r，為任意實(shí)數(shù)。

（二）非齊次線性方程組

1 ．非齊次線性方程組

記

則式（ 1 - 85 ）可記作

其中 b ≠ 0 , a 稱為方程組（ 1-8-5 ）的系數(shù)矩陣。

當(dāng) b 用0代替，式（ l – 8-6 ）即成式（1-8-4 ）。( l – 8-4 ）稱為非齊次方程組所對應(yīng)的齊次方程組。

方程組（ 1-8 - 5 ）如果有解．就稱它是相容的．（1 – 8-6 ) 如果無解則稱它不相容。

記

b 稱為方程組（ 1-8 - 5 ）的增廣矩陣。

定理非齊次線性方程組（ 1 - 8 - 5 ）有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，即 r ( a ) = r ( b ）。當(dāng) r ( a ) = r ( b ) ＝n時(shí)方程組（ 1 - 8 - 5 ）有唯一解；當(dāng) r ( a ) = r ( b ) < n 時(shí)方程組（1- 8 - 5 ）有無限多個(gè)解。

2 ．非齊次線性方程組的通解

（三）用初等行變換解線性方程組

把齊次方程組的系數(shù)矩陣化為行最簡形，即可寫出它的通解。把非齊次方程的增廣矩陣化為階梯形，即可知它是否有解；在有解時(shí)繼續(xù)化為行最簡形，即可寫出它的通解（參看例 18 - 14 與例 1 - 8 -15 ) 。

（四）例題

【例 1 - 8 - 13 】已知方程組

有無窮多個(gè)解，則參數(shù)λ＝

( a ) 0

( b ) 1

( c ) 2

( d ) 3

可知當(dāng)λ＝ 1 , r ( a ) = 2 , λ＝ 3 時(shí) r ( a ) = 3 ，方程組有唯一解，

故（ b ) 與（ d ）不合；當(dāng)λ＝ 0 時(shí) r ( b ) = 3 ，無解，故（ a ）不合；當(dāng)λ＝ 2 時(shí) r ( a ) = r ( b ) = 2 ，有無窮多個(gè)解，故應(yīng)選（ c ）。

【例1- 8 - 14 】求解方程組

【解】用初等行變換，把系數(shù)矩陣化為行最簡形：

【例1- 8 - 15 】求解方程組

【解】把增廣矩陣化為行最簡形：

（四）向量的內(nèi)積與范數(shù)

1 ．向量的內(nèi)積與范數(shù)

設(shè)

令

[x ，y]稱為向量 x 與 y 的內(nèi)積（數(shù)量積）。

當(dāng) x 、 y 為列向量時(shí)，用矩陣記號表示，有

令

|| x ||稱為向量 x 的范數(shù)（模、長度）。

范數(shù)等于 1 的向量稱單位向量。

2 ．正交向量組與正交矩陣

當(dāng) [x ，y] ＝ 0 時(shí)，稱向量 x 與 y 正交。

一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組。

定理設(shè)α₁, α₂， … ，α_r為一個(gè)正交向量組，則 α₁, α₂， … ，α_r線性無關(guān)。

設(shè)方陣 a 滿足aa^t= e （即 a^t = a^-1) ，則 a 稱為正交矩陣。

正交陣的行向量組及列向量組都是正交向量組，且每個(gè)向量都是單位向量。

特征值與特征向量

定義設(shè) a 為 n 階方陣，如果數(shù)λ與非零列向量 x 使

則數(shù)λ稱為方陣 a 的特征值，非零向量 x 稱為 a 的對應(yīng)特征值入的特征向量。

記 f （λ）= | a –λe |，這是λ的n次多項(xiàng)式，稱為矩陣 a 的特征多項(xiàng)式。 f （λ）= 0 稱為特征方程，特征方程的根就是 a 的特征值。 n 階方陣 a 有n個(gè)特征值（實(shí)的或復(fù)的，重根按重?cái)?shù)計(jì)算個(gè)數(shù)）。