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（七）平均碰撞頻率和平均自由程

     平均碰撞頻率：一個(gè)分子單位時(shí)間里受到的平均碰撞次數(shù).

平均自由程：一個(gè)分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均自由路程.

假定每個(gè)分子都是直徑為d的小圓球，如圖1，它運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，距離為2d的分子都將與之發(fā)生碰撞，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，得平均碰撞頻率為

 

                              

        (1.10)

 

圖 1

n為單位體積內(nèi)的氣體分子數(shù)（分子數(shù)密度）。                

平均自由程：   (1.11)

考慮到理想氣體狀態(tài)方程 平均自由程表達(dá)式常寫作以下形式         (1.12)

                                                    

當(dāng)溫度t一定時(shí)，分子的平均自由程與壓強(qiáng)p成反比，壓強(qiáng)越小，則越長(zhǎng)。

（八）麥克斯韋速率分布律

對(duì)于處在平衡態(tài)下的氣體而言，氣體中的每個(gè)分子各以不同的速度運(yùn)動(dòng)著。由于分子間的碰撞，他們速度的大小和方向也不斷變化。然而從大量分子的整體來(lái)看，他們的速率分布遵循著麥克斯韋速率分布律。

1、麥克斯韋速率分布函數(shù)

         (1.13)                  

物理意義：分子速率在v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。

注意下列

n：理想氣體系統(tǒng)的分子總數(shù)。

：表示速率分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。

：表示分布在此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或者其速率分布在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。：分子速率在附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或一個(gè)分子速率分布的概率密度。

麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念從理論上確定了f(v)的具體形式

 

(1.14)   

圖 2

2.麥克斯韋率率分布曲線

                    

（1）           圖2中粉色小矩形面積的意義：表示分布在v₃→v₃+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或表示某分子速率在v₃→v₃+dv區(qū)間內(nèi)的概率。

（2）           圖2中綠色區(qū)域面積的物理意義， ，它表示速率v₁→v₂區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。的含義，速率v₁→v₂區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

（3）   整個(gè)曲線下面積的意義

上式表示速率在0→∞間的氣體分子總數(shù)與總分子數(shù)之比為100%，即

                                               

上式稱為歸一化條件。

（4）最可幾速率v_p

f（v）曲線極大值處所對(duì)應(yīng)的速率值稱為最可幾速率。

v_p的物理意義：表示在相同的速率間隔內(nèi)，氣體分子速率在v_p附近的幾率最大。

（5）t變化時(shí)，f（v）曲線如何變化

對(duì)一定量的理想氣體，不同溫度下，有不同形狀的速率分布曲線，如圖3。溫度越高，速率大的分子增多，v_p向速率增大的方向移動(dòng)，曲線將拉寬。由歸一化條件可知，曲線下總面積恒等于1，于是，曲線高度降低，變得平坦。若溫度降低，則曲線極大值向左偏移，曲線變高變尖銳。  

 

圖 3

               

3、氣體分子的三種統(tǒng)計(jì)速率

l（1） 最概然（最可幾）速率

得：

       (1.15)                                                         

（2） 平均速率

由算數(shù)平均值定義

得                                  (1.16)

                        

將麥克斯韋速率分布函數(shù)代入積分得

                   

（3）方均根速率

同理

將分布函數(shù)f(v)代入上式積分并開(kāi)方得

圖 5

圖 4

                                       

如圖4所示當(dāng)同種氣體處于同一平衡態(tài)（同一溫度t）時(shí)，有，且隨溫度的增加而分別增大。當(dāng)不同種氣體處于同一平衡態(tài)時(shí)，三種速率的平均值均與成反比，參照?qǐng)D5。

 

小結(jié)：以上就是考試大綱中列出的，屬于氣體動(dòng)理論范疇的內(nèi)容。大體可以分為三部分：第一部分，描述氣體系統(tǒng)的宏觀量（狀態(tài)量：溫度t，壓強(qiáng)p）及其微觀對(duì)應(yīng)，宏觀量之間的滿足的氣體狀態(tài)方程，以及與溫度，自由度相關(guān)的系統(tǒng)內(nèi)能的表達(dá)式； 第二部分，比較獨(dú)立，描述系統(tǒng)內(nèi)分子碰撞性質(zhì)的物理量，一共兩個(gè)概念，記住其表達(dá)式即可；第三部分，分子的速率分布，及速率相關(guān)的三個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，要明確f(v)的含義。

二 相關(guān)練習(xí)

（一）歷年真題

氣體內(nèi)能 由理想氣體狀態(tài)方程比較可得

 

5. 一定量剛性雙原子分子理想氣體存儲(chǔ)于一容器中，容器的體積為v，氣體的壓強(qiáng)為p，則氣體的動(dòng)能為：

a、3 pv /2      （b）、5 pv /2        c、 pv /2         d、pv

選（b）

對(duì)于雙原子分子來(lái)說(shuō)i=5，因而e=5/2νr t ，借助于理想氣體狀態(tài)方程pv=νr t=(m/m)rt,可以得到最終正確答案。