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第四章 理論力學(xué)

 

第一節(jié)  靜力學(xué)

明確物體狀態(tài)，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——相互關(guān)系

一、              靜力學(xué)基本概念

靜力學(xué)：是研究物體在力作用下處于平衡時(shí)的規(guī)律的科學(xué)。所謂平衡，指物體相對(duì)于地面保持靜止或

勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。使物體保持平衡的作用力系稱為平衡力系。

1.力的概念及效果

力是物體間的相互作用，這種作用使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或物體的形狀發(fā)生改變，前者稱為力的外效應(yīng)，

后者稱為力的內(nèi)效應(yīng)。理論力學(xué)只討論力的外效應(yīng)。力的三個(gè)要素：大小、方向和作用點(diǎn)，因而力是一矢量。本書中用粗斜體字母表示矢量，如力f；用細(xì)斜體的同一字母表示矢量的大小，如f。力的單位是n(牛頓)或kn(千牛)。

2.剛體

所謂剛體，即在力的作用下不變形的物體。在靜力學(xué)中，所研究的物體都是指剛體。

3.靜力學(xué)公理

（1）二力平衡公理

作用在同一剛體上的兩個(gè)力，使剛體平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力等值、共線、反向。受兩力作用而

平衡的構(gòu)件或直桿分別稱為二力構(gòu)件或二力桿。（這是考點(diǎn)）

（2）加減平衡力系公理

在作用于剛體上的任意一個(gè)力系中，加上或去掉任何一個(gè)平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用。兩公理

的推論—力的可傳性；作用于剛體上的力可沿其作用線移動(dòng)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的效應(yīng)。故作用于剛體上力的三要素可表述為：力的大小、作用線和指向。因而，力矢是滑動(dòng)矢量。

（3） 力的平行四邊形法則

作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，可以合成為作用于該點(diǎn)的一個(gè)合力，合力由以這兩個(gè)力的矢量為鄰邊所構(gòu)成

的平行四邊形的對(duì)角線來表示(圖4—1—1a)。亦可用圖4—1—1b所示的力三角形abc表示，并將其稱為力三角形法則。合力r與分力f1、f2的矢量表達(dá)式為：r=f1+f2

（4）作用與反作用定律

兩物體間相互作用的一對(duì)力，總是等值、反向、共線，并分別作用在這兩個(gè)物體上。

（5）剛化原理

當(dāng)變形體在已知力系作用下處于平衡時(shí)，若將此變形體轉(zhuǎn)換成為剛體，則其平衡狀態(tài)不變。此公理表明，剛

體靜力學(xué)的平衡條件是變形體平衡的必要條件，而非是充分條件。

4.三力平衡定理

剛體受不平行的三力作用而處于平衡時(shí)，此三力的作用線必共面且匯交于一點(diǎn)。應(yīng)當(dāng)指出，三力作用線共面且匯交于一點(diǎn)，此僅是不平行的三力平衡的必要條件。（這是因?yàn)椴黄叫械娜梢怨裁鎱R交一點(diǎn)，合力不一定等于零）

5.約束與約束反力

阻礙物體運(yùn)動(dòng)的限制物稱為約束。約束對(duì)被限制物的作用力稱為約束反力，簡(jiǎn)稱反力。約束反力以外的其他

力統(tǒng)稱為主動(dòng)力。約束反力的方向恒與約束所能阻止的物體的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。（體現(xiàn)了阻礙作用）表4—1—1列出了工程中常見的幾種基本約束類型及其約束反力。

6.受力圖

受力圖是分析研究對(duì)象全部受力情況的簡(jiǎn)圖。其步驟：首先取脫離體，其次畫上全部主動(dòng)力和約束反力。對(duì)于方向不能確定的約束反力如鉸鏈約束，（即有沒有，存在不存在反力，判斷出一個(gè)反力，通過平衡條件可以推斷相平衡的反力）有時(shí)可利用平衡條件來判斷。

畫受力圖時(shí)，應(yīng)注意復(fù)鉸(兩個(gè)以上物體用圓柱銷相連接)、作用于鉸處的集中力和作用于相鄰兩剛體上的線

分布力等情況的處理方法。

鉸鏈2（受力圖清楚，進(jìn)行力的分析，處理。空間力——平面力——具體到坐標(biāo)上計(jì)算）

二、力的投影·力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩

1.力在直角坐標(biāo)軸上的投影

x＝fcosα＝fxycosφ

y=fcosβ= fxysinφ

z=fcosγ

式中α,β,γ為力f與各軸正向間的夾角；fxy是力f在oxy平面上的投影(圖4-1-2)是個(gè)矢量；角φ為fxy

與x軸正向間的夾角。若將力f沿直角坐標(biāo)軸分解，則有：f=f_x+f_y+f_z=xi+yj+zk

 

2.力對(duì)點(diǎn)之矩(簡(jiǎn)稱力矩)

在平面中，力對(duì)點(diǎn)之矩是個(gè)代數(shù)量，即：m_o(f)=±fd。點(diǎn)o稱為矩心，d為力臂。通常規(guī)定力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)。在空間問題中，力對(duì)點(diǎn)之矩是個(gè)定位矢(圖4—1—3)，其表達(dá)式為：m_o(f)=r×f=(yz-zy)i+(zx-xz)j+(xy-yx)k

力矩的單位為n·m(?！っ?/span>)或kn·m(千?！っ?/span>)。

3.力對(duì)軸之矩

力對(duì)任一z軸之矩是一代數(shù)量，其表達(dá)式為：m_z(f)=m_o(f_xy)= ±f_xyd

式中正、負(fù)號(hào)用右手法則確定(圖4-1-4)。顯然，當(dāng)力f與矩軸z共面(包括平行或相交)時(shí)，力對(duì)該軸之矩等于零。力對(duì)軸之矩的單位與力矩相同。

若取矩心o為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則力對(duì)點(diǎn)o之矩可由力對(duì)軸之矩來計(jì)算，即

m_o(f_xy)= m_x(f)i+ m_y(f)j+ m_z(f)k

三、匯交力系的合成與平衡（前面敘述過共面相交的三個(gè)力）

匯交力系合成結(jié)果有兩種可能：其—，是一個(gè)合力r，合力矢為r=∑fi。合力作用線通過匯交力系的匯交點(diǎn)；

其二，合力r等于零，即r=0  或  ∑fi=0這是匯交力系平衡的必要與充分條件。

求解匯交力系的合成與平衡問題各有兩種方法，即幾何法和解析法，如表4—1—2所示。對(duì)于空間匯交力系，

由于作圖不方便，一般都采用解析法。

 

 

表4—1—2       求解匯交力系的兩種方法

四、力偶理論

1.力偶

兩個(gè)等值、反向、不共線的平行力組成的力系稱為力偶，記為(f、f’)。力偶只能引起物體的轉(zhuǎn)動(dòng)而不能使

物體移動(dòng)，力偶中兩個(gè)力對(duì)任一根軸的投影之和恒等于零。由此可知，力偶沒有合力。既不能與一個(gè)力等效，也不能與一個(gè)力相平衡。力偶只能與力偶等效或相平衡。

2.力偶矩

力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)決定于力偶矩，它的計(jì)算如表4—1—3所述。

自由轉(zhuǎn)動(dòng)：驅(qū)動(dòng)下一直旋轉(zhuǎn)的線框

表中，f為組成力偶的力的大小，d為力偶中兩力作用線間的垂直距離，并稱為力偶臂。力偶矩的單位為

n·m(?！っ?/span>)或kn·m(千?！っ?/span>)。應(yīng)當(dāng)注意，力偶矩矢與矩心位置無關(guān)，這一點(diǎn)與力對(duì)點(diǎn)之矩是不同的。

綜上可知，兩個(gè)力偶等效條件是該兩力偶矩矢相等。由此等效條件可以得出下列兩個(gè)推論。

1）：只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，或從剛體的一個(gè)平面移到另一個(gè)平行平面內(nèi)，

而不改變其對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

2）：在保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變它對(duì)

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

3.力偶系的合成與平衡

力偶系合成結(jié)果有兩種可能，即為一個(gè)合力偶或?yàn)槠胶狻＞唧w計(jì)算時(shí)，通常采用解析法，如表4-1-4所述。

表中，m_ix、m_iy、m_iz分別為力偶矩矢mi在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。

可以證明，力偶中兩個(gè)力f和f’，對(duì)任一x軸之矩的和等于該力偶矩矢m在同一根軸上的投影，即

式中α為m與x軸正向間的夾角。

五、任意力系的合成與平衡

1.力線平移定理

力線平移定理：作用于剛體上的力f，可以平移到剛體上的任意點(diǎn)o，但必須在此力線與o所決定的平面內(nèi)

附加一力偶，此力偶矩矢的大小與方向等于力f對(duì)o點(diǎn)的矩矢，即m＝mo(f)，如圖4-1-9所示。圖中f＝f’＝f’’。

顯然，同平面的一個(gè)力f’和一個(gè)力偶矩矢為m的力偶也一定能合成一個(gè)力，其力矢f=f’，力f的作用點(diǎn)

到力f’作用線的距離為d=m/f’。力線平移定理是任意力系簡(jiǎn)化的理論依據(jù)。

2.任意力系的合成

（1）合成的一般結(jié)果

以o點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，任意力系合成的一般結(jié)果為

力矢r’稱為原力系的主矢，它的大小和方向與簡(jiǎn)化中心位置無關(guān)；力偶矩矢m0(或力偶矩m0)稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心o點(diǎn)的主矩，一般地說與簡(jiǎn)化中心位置有關(guān)。

（2）合成的最后結(jié)果

任意力系(包括空間和平面)向一點(diǎn)簡(jiǎn)化后，其最后合成結(jié)果可能出現(xiàn)表4—1—5所列出的幾種情況.

表中，中心軸是指組成力螺旋的力的作用線。

因平面任意力系是空間任意力系的特殊情況，其向o點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矩可視為垂直于力系作用平面的一個(gè)主矩

矢，因此上表4-1-5(除力螺旋外)所述亦可適用于平面任意力系。當(dāng)任意力系合成為一合力r時(shí)，則有

即合力對(duì)任一點(diǎn)(或任一軸如z軸)之矩，等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)(或同一軸)之矩的矢量和(或代數(shù)和)，并稱

之為合力矩定理。對(duì)于平面力系，合力矩定理可表示為

在計(jì)算力對(duì)坐標(biāo)軸之矩時(shí)，應(yīng)用合力矩定理，?？墒褂?jì)算簡(jiǎn)化。這時(shí)，可先將原力沿坐標(biāo)軸分解為三個(gè)分力，

然后計(jì)算各分力對(duì)坐標(biāo)軸之矩。由于平行力系是任意力系的特殊情況，故任意力系的合成結(jié)果也適用于平行力系。

（3）平行分布的線荷載的合成

沿物體中心線分布的平行力，稱為平行分布線荷載，簡(jiǎn)稱線荷載。沿單位長(zhǎng)度分布的線荷載稱為線荷載集度，

以q表示。其單位為n／m(牛／米)或kn／m(千牛／米)。

同向線荷載合成結(jié)果為一合力r，該合力的大小和作用線位置可通過求積分的方法和合力矩定理求得。均勻

分布和線性分布的線荷載的合成結(jié)果如圖4—1—10所示。

3.力系的平衡條件與平衡方程

任意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢與力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零，即

據(jù)此得出表4—1-6所列出的各組平衡方程。但應(yīng)當(dāng)指出，在空間任意力系和空間平行力系的平衡方程組中，其投影方程亦可用對(duì)軸的力矩方程來替代。當(dāng)然，該力矩方程必須是獨(dú)立的平衡方程，即可用它來求解未知量的平衡方程。