第三節(jié)        動(dòng)力學(xué)

動(dòng)力學(xué)研究力和運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系。

知識(shí)點(diǎn)：

1. 動(dòng)力學(xué)基本定律：牛頓定律

2. 動(dòng)力學(xué)普遍定理；

動(dòng)量；質(zhì)心；動(dòng)量定理及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng)量及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒；動(dòng)量矩；動(dòng)量矩定理；動(dòng)量矩守恒；功；動(dòng)能；勢(shì)能；動(dòng)能定理及機(jī)械能守恒；

3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；回轉(zhuǎn)半徑；平行軸定理；

4. 剛體作平動(dòng)和繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)軸垂直于剛體的對(duì)稱面）時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化；

5. 達(dá)朗伯原理與動(dòng)靜法（動(dòng)力學(xué)問(wèn)題等效用靜力學(xué)的方法處理）

6. 質(zhì)點(diǎn)的直線振動(dòng)：

自由振動(dòng)微分方程；固有頻率；周期；振幅；衰減振動(dòng)；阻尼對(duì)自由振動(dòng)振幅的影響——振幅衰減曲線；受迫振動(dòng)；受迫振動(dòng)頻率；幅頻特性（共振）

一、動(dòng)力學(xué)基本定律和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

（一）動(dòng)力學(xué)基本定律(牛頓三大定律)

1．第一定律——慣性定律

慣性定律的內(nèi)涵揭示了以下四點(diǎn)：

1）慣性：物體不受力的作用，則將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。物體屬性。同時(shí)規(guī)定了參考系——慣性參考系。

2）慣性量度：質(zhì)量。質(zhì)量越大，慣性越大。

3）質(zhì)量的測(cè)定：質(zhì)量與狀態(tài)沒(méi)有任何關(guān)系。所以可以通過(guò)某地的重力及加速度求得：m=g/g

4）力：力是物體間的相互作用。（有力，物體狀態(tài)改變，就有加速度。）

2．第二定律——力與加速度的關(guān)系定律

質(zhì)點(diǎn)受一力f作用時(shí)所獲得的加速度a的大小與力f的大小成正比，而與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比；加速度的方向與作用力方向相同，即

ma=f      (4-3-1)

如果質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受幾個(gè)力的作用，則上式中的f應(yīng)理解為這些力的合力,而a應(yīng)理解為這些力共同作用下的質(zhì)點(diǎn)的加速度，這樣式(4—3—1)可寫(xiě)為

ma=σfi         (4-3-2)

1）對(duì)質(zhì)點(diǎn)適合

2) 合力與加速度瞬時(shí)對(duì)應(yīng)，（先有力后有加速度）加速度隨著合力的變化而變化（大小和方向）

式(4—3—1)或式4—3—2)稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程。

 

上述描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況，第三描述兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用。

 

3．第三定律——作用與反作用定律

兩質(zhì)點(diǎn)相互作用的力總是大小相等，方向相反，沿同一直線，并分別作用在兩質(zhì)點(diǎn)上。

作用力和反作用力同存亡。（一個(gè)消失，另一個(gè)消失；一個(gè)出現(xiàn)，另一個(gè)也出現(xiàn)）

（二）運(yùn)動(dòng)微分方程

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程ma=f,可推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)微分方程

其中a是運(yùn)動(dòng)學(xué)量，所以對(duì)a進(jìn)行變化,可以得到v，r，得到運(yùn)動(dòng)微分方程。

1）.矢量形式

2）.直角坐標(biāo)形式

3）.自然軸形式

要合理利用牛頓運(yùn)動(dòng)：：：：

必須注意:

l         這些方程只適用于慣性坐標(biāo)系（牛一規(guī)定的），物體運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速。其中各項(xiàng)加速度必須是絕對(duì)加速度（慣性參考系，如地球）；采用自然軸投影形式的運(yùn)動(dòng)微分方程必須已知運(yùn)動(dòng)軌跡。

l         直角坐標(biāo)投影形式和自然軸投影形式的運(yùn)動(dòng)微分方程是兩種常用的投影形式。根據(jù)問(wèn)題的需要，還可以有其他投影形式的運(yùn)動(dòng)微分方程。

l         質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程可用來(lái)解決質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)二類基本問(wèn)題。

(1)已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。

(2)已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

兩種問(wèn)題的解決化為關(guān)于求導(dǎo)問(wèn)題和積分問(wèn)題的運(yùn)算。

 

可能有人會(huì)說(shuō)，近代相對(duì)論力學(xué)先進(jìn)，為什么還學(xué)習(xí)這些經(jīng)典力學(xué)？

由于一般工程問(wèn)題中，大多問(wèn)題都屬于上述的適用范圍，因此以基本定律為基礎(chǔ)的古典力學(xué)在近代工程技術(shù)中仍占有很重要的地位。日常生活中的現(xiàn)象都遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律。

（三）例題

[例4—3—1］ 圖4—3—1所示半徑為r的偏心輪繞o軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)導(dǎo)板ab沿鉛垂軌道運(yùn)動(dòng)。已知偏心距oc＝e，開(kāi)始時(shí)oc沿水平線。若在導(dǎo)板頂部放有一質(zhì)量為m的物塊m，求：(1)物塊對(duì)導(dǎo)板的最大反力及此時(shí)偏心c的位置；(2)使物塊不離開(kāi)導(dǎo)板的ω的最大值。

直線運(yùn)動(dòng)；動(dòng)力學(xué)微分方程；第一類問(wèn)題

    一看本體屬于第一類問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)求受力，會(huì)用到導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

[解]  本題根據(jù)題意可列出物塊的運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可求物塊的加速度。于是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，可求出導(dǎo)板對(duì)物塊的反力。

 

屬于第一類問(wèn)題。

       (1)對(duì)象：取物塊m為研究對(duì)象。

      (2)受力分析：選任一瞬時(shí)t進(jìn)行分析，作用于物塊上的力有重力p和導(dǎo)板對(duì)物塊的作用力n，受力圖如圖4—3—1(b)所示。

(3)運(yùn)動(dòng)分析：物塊沿鉛垂線運(yùn)動(dòng)。

      (4)選坐標(biāo)：由于物塊沿鉛垂線運(yùn)動(dòng)，將坐標(biāo)原點(diǎn)取在固定點(diǎn)o上，并取x軸鉛垂向上為正。

      (5)建立運(yùn)動(dòng)微分方程并解。

應(yīng)用直角坐標(biāo)形式微分方程：得

物塊放在導(dǎo)板上，導(dǎo)板作平動(dòng)，故物塊的加速度即等于導(dǎo)板的加速度。根據(jù)題意可列出導(dǎo)板上d的運(yùn)動(dòng)方程為

對(duì)該式求二次導(dǎo)，得到物塊的加速度

將式(3)代入式(1)，得

可以看到n隨著t變化，sinwt

由式(4)可見(jiàn)，當(dāng)sinωt=-1時(shí)，即c點(diǎn)在最低位置，n達(dá)到最大值

當(dāng)sinωt=1時(shí)，即c點(diǎn)在最高位置，n達(dá)到最小值

欲使物塊不離開(kāi)導(dǎo)板，（離開(kāi)的臨界條件是n=0）則nmin≥0，即

故物塊不離開(kāi)導(dǎo)板ω的最大值為。

本題考點(diǎn)：1）第一類問(wèn)題的解法。2）直線運(yùn)動(dòng)

[例4—3－2]  圖4—3—2(a)所示橋式起重機(jī)上的小車，吊著重為p=100kn的物體沿水平橋架以速度v₀=lm／s作勻速直線移動(dòng)。重物的重心到懸掛點(diǎn)的距離為l=5m。當(dāng)小車突然停車時(shí)，重物因慣性而繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，此后則繞懸掛點(diǎn)擺動(dòng)。試求鋼絲繩的最大拉力。

其中運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)（曲線運(yùn)動(dòng)），動(dòng)力學(xué)方程，第二類問(wèn)題

      [解]  1）取重物為研究對(duì)象，并將重物視為質(zhì)點(diǎn)。

2）確定受力和運(yùn)動(dòng)的情況。確定停車前的狀態(tài)，明確了停車后的初態(tài)。

小車停車前：物體勻速直線運(yùn)動(dòng)；停車后：以一定初速度做圓周運(yùn)動(dòng)。

設(shè)小車突然停車后的任意瞬時(shí)t，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為φ (鉛垂軸x的正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向量取為正)。作用在重物上的力有：重力p和鋼絲繩的拉力t，受力圖如圖4-3—2b所示。

3）選擇運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)和列動(dòng)力學(xué)微分方程：軌跡清楚，選擇自然坐標(biāo)系。取自然軸系的τ、n軸的正向如圖示(τ軸指向φ增加的一方，沿運(yùn)動(dòng)方向)。由式(4—3—5)可得

τ向：（涉及速度，列如下動(dòng)力學(xué)方程）

   （ma=f_τ）

n向：

顯然，（v, φ，t三個(gè)未知數(shù)。）如能求出（1）中的v(這是第二類問(wèn)題)，則代人式(2)即可求得t。

（1）       中v，φ都是未知量，能直接找到兩者關(guān)系最好

由運(yùn)動(dòng)學(xué)知dφ/dt=w=v/l,代人(1)可得：（微分變換的應(yīng)用）

 

或

將初始條件帶入積分，得到v。

初始條件：在初瞬時(shí)(即小車突然停車的瞬時(shí))，重物的速度為v。，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為零，即t=0時(shí)，v=v₀,φ=0；（我們用微分方程時(shí)，取任意時(shí)刻）

而在任一瞬時(shí)t時(shí)，重物的速度為v，鋼絲繩與鉛垂線的夾角為φ。作定積分得

式(3)就是重物的速度變化規(guī)律。當(dāng)φ增大。v隨之減小，當(dāng)φ=0時(shí)，v=v₀，v值為最大。

由式(2)得

因?yàn)楫?dāng)φ=0時(shí)，v具有最大值v。，cosφ=1也為最大值，故此時(shí)t具有最大值

將，

代入式(5)，可得

 

練習(xí)題：1. 已知物體初始位置如圖，剪斷其中一根繩子，剪斷繩子瞬間，細(xì)繩的拉力是（）

abcd

通過(guò)以上兩個(gè)典型例題，對(duì)直線運(yùn)動(dòng)，曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方程，求解了兩類問(wèn)題。

 

（四）解題注意事項(xiàng)

1，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程只適用于慣性坐標(biāo)系，各項(xiàng)加速度必須為絕對(duì)加速度。（排除了相對(duì)加速度）

2．有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系用動(dòng)力學(xué)基本方程求解時(shí)，必須對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)建立方程。

3．建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，應(yīng)將質(zhì)點(diǎn)置于一般位置分析受力與運(yùn)動(dòng)，且此位置處于坐標(biāo)系的第一象限為妥。同時(shí)必須注意力和加速度在坐標(biāo)軸上的投影的正負(fù)號(hào)。

 

研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程之后，將繼續(xù)學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)普遍定理，它包括動(dòng)量定理(含質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。這些定理都是從動(dòng)力學(xué)基本方程推導(dǎo)得來(lái)的。它們建立了一些表明運(yùn)動(dòng)的度量(動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能)與表明力的作用效果的量(如沖量、力矩和功)之間的關(guān)系。應(yīng)用這些定理解一些動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是比較方便的。（基礎(chǔ)——衍生的定理；解題難易：復(fù)雜——簡(jiǎn)單），解題時(shí)能用普遍定理，就不用動(dòng)力學(xué)基本定理

 

從數(shù)學(xué)上看，這些定理只是在一定條件下運(yùn)動(dòng)微分方程另一種形式或它們的積分，但經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變換而出現(xiàn)在各定理中的量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能、沖量、功等)都有明確的物理意義，各相關(guān)量之間也有簡(jiǎn)單而確定的關(guān)系，這不僅使我們對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的了解更深入，而且能更有效地進(jìn)行研究。下面依次研究這些定理，重點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)系有關(guān)定理。