二、動(dòng)量定理

動(dòng)量定理是在動(dòng)力學(xué)基本方程基礎(chǔ)上推到出來的。

動(dòng)量定理建立了（研究對(duì)象）質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變與作用在其上的力的沖量之間的關(guān)系，由此還可以得動(dòng)量守恒定律及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。

（一）基本概念

質(zhì)心，動(dòng)量，沖量

1．質(zhì)心：（引入質(zhì)心，可以將（多個(gè)物體組成）質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)分析處理問題, 這符合學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)，由已知到未知）

對(duì)質(zhì)量m＝∑mi質(zhì)點(diǎn)系，若其任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)的矢徑為ri，則由矢徑

所確定的一點(diǎn)c稱為此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心，簡(jiǎn)稱質(zhì)心。

1) 在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心位置矢量各分量的表達(dá)式為：

，，

2) 對(duì)于連續(xù)分布的物體，質(zhì)心的計(jì)算公式為：（微元的積分）

分量形式為（xyz軸上的積分形式）

，，

2．動(dòng)量：是物體某瞬時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種度量。以k表示。狀態(tài)量，矢量（方向性）

(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與其速度v的乘積，其表達(dá)式為

k=mv（與速度方向相同，瞬時(shí)量）

(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，其方向與質(zhì)心的速度v_c的方向相同，其表達(dá)式為

式中 m_i——質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；

m＝∑m_i——質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量；

v_i——質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度；

v_c——質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心c的速度。

3．沖量：是力在某一段時(shí)間間隔內(nèi)作用效應(yīng)的度量。以s表示。（過程量，矢量）

(1)常力的沖量：s=ft;（與力的方向相同）

（我們常會(huì)遇到） (2)變力的沖量：。（很小時(shí)間內(nèi)，將力看做是恒力）

（二）動(dòng)量定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

動(dòng)量定理與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的表達(dá)式如下表所示.

動(dòng)量定理的微分形式——?jiǎng)恿W(xué)方程的微分形式（本質(zhì)，宏觀低速物體m恒定）

微分形式：動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階倒數(shù)是物體受到的合外力（質(zhì)點(diǎn)系間的內(nèi)力不起作用）；

積分形式：質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間（t₁到t₂）動(dòng)量的改變等于作用在質(zhì)點(diǎn)的合力在這段時(shí)間內(nèi)的沖量

（這里將狀態(tài)量動(dòng)量和過程量ft聯(lián)系在一起：（計(jì)算中可以靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)換思想）過程ft清楚，可以求出過程變化前后兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)量的差；若前后狀態(tài)清楚或者容易獲得，可以求出變力參與的過程量ft，常來解決碰撞問題）

表4—3—1的式中，為作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和，即外力系的主矢；

為此外力系在時(shí)間(t₂—t₁)內(nèi)的沖量的矢量和；

k₂和k₁分別為t₁ ，t₂時(shí)刻的動(dòng)量；

a_c和v_c分別為質(zhì)心的加速度和速度；

腳標(biāo)x、y、z和τ、n、b分別表示相應(yīng)物理量在直角坐標(biāo)軸和自然軸上的投影。

對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，我們可以通過觀察質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)把握物體的整體運(yùn)動(dòng)（水平上拋三角板；運(yùn)動(dòng)員跳水），所以利用動(dòng)力學(xué)基本方程不難求出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律，

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：研究對(duì)象是多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的物體。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代表了整個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況。即對(duì)質(zhì)心應(yīng)用牛頓第二定律，可以寫出質(zhì)心動(dòng)力學(xué)定律和質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)微分方程，可以解決兩類動(dòng)力學(xué)問題。

可以看出：

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律：（即質(zhì)心不受力或者受力為零）質(zhì)點(diǎn)系不受外力作用（或者合外力等于零），保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)。它的矢量形式和直角坐標(biāo)系中的分量見表4-3-1.

（三）例題

[例4—3—3] 滑塊c的質(zhì)量m=19．6kg，在力p=866n的作用下沿傾角為β=30°的導(dǎo)桿ab運(yùn)動(dòng)。已知力p與導(dǎo)桿ab之間的夾角α=45°，滑塊與導(dǎo)桿間的動(dòng)摩擦系數(shù)f’=0．2，初瞬時(shí)滑塊處于靜止。試求滑塊的速度增大到v=2m／s所需的時(shí)間。

[解]

由題可以看出，已經(jīng)物塊受力，和部分運(yùn)動(dòng)學(xué)量v等，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間。對(duì)于這樣涉及到時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題，我們優(yōu)先考慮動(dòng)量定理。而不考慮動(dòng)力學(xué)基本定律。

(1)選研究對(duì)象取滑塊c為研究對(duì)象。

(2)受力分析滑塊c上受重力mg、導(dǎo)桿對(duì)滑塊c的法向反力nc、摩擦力f及拉力p等四個(gè)力的作用。

(3)運(yùn)動(dòng)分析滑塊c只能沿導(dǎo)桿ab作直線運(yùn)動(dòng)。選取直角坐標(biāo)bxy如圖4—3—10所示。

(4)應(yīng)用動(dòng)量定理的直角坐標(biāo)形式，設(shè)經(jīng)歷t時(shí)間，則有

即：

動(dòng)量是矢量，注意方向在坐標(biāo)軸上投影的正負(fù)。

由式（2），得

從而，（再由摩擦定律可以求出）動(dòng)摩擦力

代入式(1)，求得滑塊的速度從零增到v=2m／s所需的時(shí)間

[例4—3—4] （下面是關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題）

曲柄oa質(zhì)量為m₁，長(zhǎng)為r，以勻角速度ω繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)滑槽連桿以及與連桿固結(jié)的活塞b作往復(fù)運(yùn)動(dòng)?；圻B桿和活塞的總質(zhì)量為m₂，作用于活塞上的已知力為q，如果不計(jì)摩擦，求作用于曲柄軸o上的最大水平反力。

【解】多個(gè)物體的組合，用質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程求解

力與質(zhì)心加速度相關(guān)，對(duì)質(zhì)心加速度的求解可以通過以下兩種方法

1）已經(jīng)知道各質(zhì)點(diǎn)的加速度，直接應(yīng)用質(zhì)心公式；2）質(zhì)心位移的二階倒數(shù)

該系統(tǒng)包括兩個(gè)物體，曲柄oa和滑槽連桿及固結(jié)在一起的活塞b，只考慮水平方向的運(yùn)動(dòng)。先寫出質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在x方向的坐標(biāo)公式，再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。

(1)對(duì)象取曲柄oa、滑槽及活塞b所組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。（質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)該質(zhì)點(diǎn)系進(jìn)行受力分析。）

(2)受力分析作用于系統(tǒng)的水平方向上外力有曲柄軸o處的水平反力x₀及作用于活塞上的水平力q。

(3)運(yùn)動(dòng)分析由于組成質(zhì)點(diǎn)系的物體為剛體，而且各部分運(yùn)動(dòng)顯為已知，因此用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理比較方便。取坐標(biāo)系oxy如圖4—3—11所示，設(shè)任意t瞬時(shí)，曲柄處于x軸正向，則在水平方向系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為

(4)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解

質(zhì)心求出來，對(duì)他求二次導(dǎo)數(shù)，得到質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的加速度，求出受力。

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得

則有

將式(1)對(duì)時(shí)間求兩階導(dǎo)數(shù)，并代入式(2)得，

當(dāng)ωt=π時(shí)，x₀達(dá)到最大值，為

[例4-3-5] 小車a重q，下懸一擺如圖4—3—12所示。擺按規(guī)律φ=φ₀sinkt擺動(dòng)，設(shè)擺錘b重為p，擺長(zhǎng)為j，擺桿重量及各處摩擦均忽略不計(jì)。若運(yùn)動(dòng)開始時(shí)系統(tǒng)的質(zhì)心速度等于零，試求小車的運(yùn)動(dòng)方程。

[解] 1. 研究對(duì)象：以小車和擺錘所組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。（擺桿重量及各處摩擦均忽略不計(jì)，他們水平方向不受外力作用），所以系統(tǒng)水平方向質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒。

2. 受力分析：作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的外力有重力p、q和軌道的鉛垂反力n。選取坐標(biāo)oxy如圖所示，y軸通過系統(tǒng)的質(zhì)心c。

3. 分析運(yùn)動(dòng)，選擇坐標(biāo)，列動(dòng)力學(xué)方程。

由于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在x方向上的投影的代數(shù)和等于零，因此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)沿c方向守恒，即v_cx=常量。又因系統(tǒng)原來是靜止的，所以v_cx=dx_c/dt=0,xc=常量，那么發(fā)生運(yùn)動(dòng)后仍然是靜止的。因此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的水平位置應(yīng)保持不變，由于y軸通過質(zhì)心，故x_c=0。當(dāng)擺錘至任意位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心坐標(biāo)為

既

由圖示坐標(biāo)關(guān)系得

將式(3)代入式(2)得

式(4)即為小車的運(yùn)動(dòng)方程。

以上三個(gè)例題分別對(duì)知識(shí)點(diǎn)動(dòng)量定理，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒的應(yīng)用進(jìn)行了詳解。大家可以針對(duì)性的看看，達(dá)到鞏固知識(shí)的目的。

（四）解題注意事項(xiàng)：

1．由于動(dòng)量定理與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理均由牛頓定律導(dǎo)得，故定理中的運(yùn)動(dòng)量(速度、加速度等)必須是相對(duì)慣性參考系的。

2．受力圖中只需畫出外力，不圖示內(nèi)力，并根據(jù)系統(tǒng)所受的外力來判別系統(tǒng)的動(dòng)量或質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)是否守恒。（質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力：碰撞，爆炸時(shí)，可以用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律）

3．計(jì)算多剛體系統(tǒng)的動(dòng)量時(shí)，可用關(guān)系式

式中 v_c為系統(tǒng)質(zhì)心的速度；vi_c為i剛體的質(zhì)心速度。具體計(jì)算用它的投影式。

4．應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理時(shí)，可用關(guān)系式

求解系統(tǒng)質(zhì)心的加速度，也可以將質(zhì)心矢徑求兩階導(dǎo)數(shù)得到。一般，當(dāng)多剛體系統(tǒng)的各質(zhì)心加速度容易求得時(shí)用前者較方便。

例：剎車時(shí)，制動(dòng)的原因是什么：

（a）制動(dòng)閘和輪子間有摩擦力的原因；

（b）地面對(duì)輪子摩擦力的作用；

（c）制動(dòng)閘和輪子間的摩擦力和地面對(duì)輪子摩擦力共同作用的結(jié)果；

（d）不確定

三、動(dòng)量矩定理

矩，與轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩的變化與作用于其上的外力系主矩之間的關(guān)系，可用以解決動(dòng)力學(xué)兩類問題。

（一）動(dòng)量矩的概念

動(dòng)量矩是某瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。其數(shù)學(xué)表達(dá)式分述如下。

1.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩

（類比力矩的定義m_o(f)=r×f）

式中 r為質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o的矢徑。動(dòng)量矩矢量是定位矢量，應(yīng)畫在o點(diǎn)。其單位是kg·㎡／s或n·m·s。

適用于慣性參考系。

2．質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)o的動(dòng)量矩

3. 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)過定點(diǎn)o的正交坐標(biāo)系各軸的動(dòng)量矩

4，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸c的動(dòng)量矩（剛體：質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的動(dòng)量矩之和，化簡(jiǎn)為下式）

，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積

對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程：f=ma

（二）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其平行軸定理

1．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。（質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的量度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度）其表達(dá)式如表4-3-2所列。

并與剛體的質(zhì)量及質(zhì)量分布有關(guān)。其單位是kg·㎡。

回轉(zhuǎn)半徑（等效半徑，質(zhì)心——質(zhì)點(diǎn)系；回轉(zhuǎn)半徑，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)心。盡管在此說法不嚴(yán)格）并不是剛體上某個(gè)實(shí)際尺寸，而是設(shè)想剛體的質(zhì)量集中在與z軸相距為ρz的點(diǎn)上，此集中質(zhì)量對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等。

2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

式中，z軸通過質(zhì)心c且與z’軸平行，m是剛體的質(zhì)量，d為z’與z軸之間的距離。

（三）動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的表達(dá)式隨矩心不同而有所改變，具體列于表4-3-3。

表4-3-3中h_cr是在相對(duì)隨質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩；∑mc是作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)質(zhì)心的主矩。

動(dòng)量矩和力矩的矢量形式關(guān)系與動(dòng)量和力的關(guān)系等同，僅是對(duì)象剛體和質(zhì)點(diǎn)。大家可以對(duì)比記憶。

（四）剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

式中 jc是剛體對(duì)通過質(zhì)心且與運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

（五）例題

[例4-3-6] 一軟繩跨在滑輪上，其兩端一為重w的人，一為與人等重的物體。開始時(shí)，人與物體均靜止不動(dòng)。令人沿著繩子向上，問人能否上升?物體將上升還足下降?設(shè)滑輪與繩子的質(zhì)量以及軸承中的摩擦力均可略去不計(jì)。

[解]

1．對(duì)象：選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。

2．受力分析：作用于此系統(tǒng)上的外力有軸承反力、重力w，顯然這些力對(duì)軸o的矩之和始終為零。

即

故系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩保持守恒。

3．運(yùn)動(dòng)分析并計(jì)算動(dòng)量矩

運(yùn)動(dòng)開始時(shí)系統(tǒng)中所有物體處于靜止，系統(tǒng)的動(dòng)量矩為

h_zl=0

令人沿著繩子向上，因此，必然要引起重物上升，才能保持系統(tǒng)對(duì)o軸動(dòng)量矩為零。設(shè)某一瞬時(shí)，人相對(duì)于繩子的速度為vr，而重物上升的速度為v。注意到重物上升的速度就是繩子中下運(yùn)動(dòng)的速度。

動(dòng)量矩是相對(duì)于慣性參考系，所以速度都是絕對(duì)速度。

因此，人的絕對(duì)速度va=vr-v0。設(shè)滑輪的半徑為r，則此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量矩為

4．應(yīng)用動(dòng)量矩定理求解

由于系統(tǒng)對(duì)c軸動(dòng)量矩守恒，故有

即

解得

同時(shí)得到

由此可見，人與重物以相同的速度上升；并且看到，在任何瞬時(shí)，重物上升的速度總是等于人相對(duì)于繩子的速度的一半。

[例4—3—7] 一飛輪由直流電機(jī)帶動(dòng)，已知電機(jī)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩m與其角速度的關(guān)系為：m=m1(1－ω/ω1)。式中，ml表示電機(jī)的起動(dòng)轉(zhuǎn)矩，w1叫表示電機(jī)無負(fù)載時(shí)空轉(zhuǎn)角速度，且m1與ω1都是已知量。設(shè)飛輪對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為j₀，作用在飛輪上的阻力矩mf為常量，如圖4—3—21所示。當(dāng)m>m_f時(shí)，飛輪開始起動(dòng)，求角速度o隨時(shí)間t的變化規(guī)律。