[例5-2-2] 圖5-2-7所示鋼木組合三角架中,鋼桿ab的直徑d=28㎜,許用應(yīng)力[σ]1=160mpa,彈性模量e1=2×105mpa;木桿bc的橫截面為正方形,邊長(zhǎng)d=100㎜,許用應(yīng)力[σ] 2=5mpa,彈性模量e2=1×104mpa。a、b、c節(jié)點(diǎn)均為鉸接, 在節(jié)點(diǎn)b處作用一垂直荷載p。
1.若荷載p=36kn,試校核兩桿的強(qiáng)度,并求節(jié)點(diǎn)b的位移;
2.求該結(jié)構(gòu)的許可荷載;
3.若p等于許可荷載,計(jì)算鋼桿的直徑。
[解] 1.校核兩桿的強(qiáng)度
先求各桿的內(nèi)力。取節(jié)點(diǎn)b為脫離體,如圖(b)所示。由平衡條件:
解得
兩桿橫截面上的應(yīng)力
所以,兩桿均滿足強(qiáng)度條件。
2.求節(jié)點(diǎn)b的位移
應(yīng)先計(jì)算兩桿在p力作用下的變形。
然后作變形位移圖。結(jié)構(gòu)變形后兩桿仍應(yīng)相交在一點(diǎn),這就是變形的相容條件。因桿ab受拉力而伸長(zhǎng)△l1,b點(diǎn)移至新位置b1;因桿cb受壓力而縮短△l2,b點(diǎn)移至新位置b2。在小變形條件下,可用切線代替圓弧來(lái)確定節(jié)點(diǎn)b的新位置。即過(guò)b1和b2分別作abl和ab2的垂線,兩垂線的交點(diǎn)b’即為節(jié)點(diǎn)b的新位置,如圖(c)所示。從圖中可看出:
b點(diǎn)的水平位移為
b點(diǎn)的垂直位移為
所以,b點(diǎn)的位移為
3.求結(jié)構(gòu)的許可荷載[p]
由強(qiáng)度條件,鋼桿的許可軸力為
相應(yīng)的許可荷載為
同理,木桿的許可軸力為
相應(yīng)的許可荷載為
為了保證兩桿都能安全、正常地工作,結(jié)構(gòu)的許可荷載應(yīng)取上述[p]1、[p]2中的較小值。即
[p]1=[p]2=37.5kn
4.重新選擇鋼桿的直徑
當(dāng)p=
[p] =37.5kn時(shí),木桿的工作應(yīng)力剛好等于許用應(yīng)力,材料得到充分利用。但鋼桿的工作應(yīng)力比其許用應(yīng)力小得多,表明它有多余的強(qiáng)度儲(chǔ)備,故應(yīng)重新選擇鋼桿的直徑,使其達(dá)到既安全又經(jīng)濟(jì)的要求。由強(qiáng)度條件
得
于是,選取鋼桿直徑d=22㎜,則鋼桿的工作應(yīng)力比其許用應(yīng)力大2.8%,在工程上允許范圍(±5%)以內(nèi)。