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第五章 材料力學(xué)

第一節(jié)            緒論

一、        材料力學(xué)的任務(wù)

材料力學(xué)是一門重要的技術(shù)基礎(chǔ)課。它既是固體力學(xué)的入門課程,又是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)課程的重要基礎(chǔ),材料力學(xué)的任務(wù)就是在構(gòu)件具有相應(yīng)承載能力的條件下以最經(jīng)濟(jì)的代價(jià),為構(gòu)件確定合理的形狀和尺寸,選擇適當(dāng)?shù)牟牧希瑸闃?gòu)件的設(shè)計(jì)提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。構(gòu)件在荷載作用下必須滿足以下條件。

強(qiáng)度-是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗破壞的能力。(即構(gòu)件在荷載作用下不會(huì)發(fā)生意外斷裂或不可恢復(fù)性變形)

剛度-是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗變形的能力。(即構(gòu)件在荷載作用下不會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的彈性變形-不超過(guò)工程的允許范圍)

穩(wěn)定性-是指構(gòu)件保持其原有平衡形式的能力。(即構(gòu)件在荷載作用下不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象)。

這里強(qiáng)調(diào)一下:材料力學(xué)所研究的僅限于材料的宏觀力學(xué)行為,其主要研究對(duì)象是彈性范圍內(nèi)的桿件;不涉及材料的微觀機(jī)理。

二、        變形固體的基本假設(shè)

在材料力學(xué)中經(jīng)常要用到基于簡(jiǎn)化、假定的理想化,即對(duì)物體的形狀、材料以及作用在物體上的荷載作某些與實(shí)際相近的簡(jiǎn)化或假定,使復(fù)雜問(wèn)題理想化。下面介紹關(guān)于材料理想化的幾個(gè)基本假定,即有關(guān)變形固體的基本假定。

各種構(gòu)件均由固體材料制成。固體在外力作用下將發(fā)生變形故稱為變形固體。材料力學(xué)中對(duì)變形固體所作的基本假設(shè)是:

(一)均勻、連續(xù)性假設(shè)

組成固體的物質(zhì)毫無(wú)空隙地充滿了固體的幾何空間。

(二)各向同性假設(shè)

在固體的體積內(nèi),物體中各點(diǎn)在各個(gè)方向上的力學(xué)性能相同,可以用一個(gè)參數(shù)描寫各點(diǎn)在各個(gè)方向上的某種力學(xué)性能。

(三)小變形假設(shè)

小變形就是:構(gòu)件由荷載引起的變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件的原始尺寸。變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件尺寸,在研究構(gòu)件的平衡和運(yùn)動(dòng)時(shí)按變形前的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算,以保證問(wèn)題在幾何上是線性的。小變形假設(shè)使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化:分析結(jié)構(gòu)平衡時(shí),可采用理論力學(xué)的剛體靜力學(xué)方法;構(gòu)件的復(fù)雜變形可處理為若干基本變形的疊加。

三、        桿件的主要幾何特征

桿件是指長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫向尺寸(高度和寬度)的構(gòu)件。這是材料力學(xué)研究的主要對(duì)象。桿件的兩個(gè)主要的幾何特征是橫截面和軸線。

橫截面——垂直于桿件長(zhǎng)度方向的截面。

軸線——各橫截面形心的連線。

若桿的軸線為直線,稱為直桿。若桿的軸線為曲線,稱為曲桿。

 

 

 

 

 

 

 

四、        桿件變形的基本形式:

 

桿件變形的基本形式有:拉伸、壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。材料力學(xué)后面的知識(shí)其實(shí)也是圍繞這這五個(gè)基本形式展開的,或者是這幾個(gè)形式其中的某兩個(gè)、三個(gè)的組合,

上面是材料力學(xué)的一些概述內(nèi)容,本小節(jié)重點(diǎn)掌握的是考試大綱中規(guī)定的:

材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能-低碳鋼、鑄鐵拉伸、壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線;力學(xué)性能指標(biāo)。

五、        低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能

1)低碳鋼試件的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線規(guī)律(四個(gè)階段,3個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)),如圖所示。

3個(gè)強(qiáng)度指標(biāo):強(qiáng)度極限;屈服極限;比例極限。塑性指標(biāo)是:伸長(zhǎng)率和斷面收縮率。

2)、卸載定律:在加載過(guò)程中,如果加載到強(qiáng)化階段的任意點(diǎn)(d)后卸載,應(yīng)力應(yīng)變曲線沿著一條與oa平行的直線下降。即卸載按彈性規(guī)律,卸載后再加載,應(yīng)力應(yīng)變曲線基本按卸載路徑返回。

3)、冷縮硬化:

在加載到強(qiáng)化階段后卸載,然后再加載,屈服點(diǎn)(d)明顯提高,斷裂前變形明顯減小,這種現(xiàn)象稱為“冷縮硬化”,即比例極限提高而塑性降低的現(xiàn)象。

六、        鑄鐵的拉伸壓縮力學(xué)性能

特點(diǎn):應(yīng)力-應(yīng)變曲線沒有明顯的直線部分,沒有屈服階段,只有一個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)-強(qiáng)度極限σb,鑄鐵的抗壓能力顯著高于抗拉能力。

第二節(jié)    軸向拉伸與壓縮

本節(jié)大綱要求基本要求內(nèi)容是:掌握軸力和軸力圖;桿件橫截面和斜截面上的應(yīng)力;強(qiáng)度條件;虎克定律;變形計(jì)算。

七、         軸向拉伸與壓縮的概念

(一)力學(xué)模型

軸向拉壓桿的力學(xué)模型如下圖521所示。

(二)  受力特征

其受力特點(diǎn):是桿在兩端各受一集中(合)力p的作用,這兩個(gè)p力大小相等,指向相反,且作用線與桿軸線重合。判斷是拉力和壓力的方法就是:偏離截面的是軸向拉力,指向橫截面的是軸向壓力。  

(三)  變形特征

變形特征是:桿件主要產(chǎn)生軸線方向的均勻伸長(zhǎng)(縮短)。

軸向拉伸(壓縮)桿橫截面上的內(nèi)力

(一)內(nèi)力

由外力作用而引起的構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的相互作用力;

(二)求內(nèi)力的方法-截面法

截面法是求內(nèi)力的一般方法。用截面法求內(nèi)力的步驟為

1截開 在需求內(nèi)力的截面處,假想地沿該截面將構(gòu)件截分為二。

2代替 任取一部分為研究對(duì)象,稱為脫離體。用內(nèi)力代替棄去部分對(duì)脫離體的作用。

3平衡 對(duì)脫離體列寫平衡條件,求解未知內(nèi)力。截面法的圖示如圖522

(三)軸力

軸力就是:軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力,其作用線必定與桿軸線相重合,稱為軸力。以n(或fn)表示。軸力n規(guī)定以拉力為正,壓力為負(fù)。

(四)軸力圖

表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線。

 

[521]  畫出圖523中直桿的軸力圖。

[] 按照截面法的原則,我們首先 用截面11、2233將桿截開,取脫離體如圖所示。各截面的軸力n1、n2n3均假定為拉力。由靜力平衡方程∑x=0分別求得:

其中負(fù)號(hào)表示軸力為壓力。

取坐標(biāo)系nox,x軸平行桿軸線,根據(jù)各段軸力的大小和正負(fù)可繪出軸力圖,如圖5-2-3所示。

分析與討論:

1.本例中若取截面左部分為脫離體時(shí),則應(yīng)先計(jì)算桿件的未知外力(包括支座反力)。

2.用截面法求軸力時(shí),總是假設(shè)截面上的內(nèi)力為正,這樣由平衡條件解得的內(nèi)力的正負(fù)號(hào),就是該截面上內(nèi)力的實(shí)際的正負(fù)號(hào)。

3.作多個(gè)集中外力作用桿的軸力圖可采用簡(jiǎn)易法,其原則是:在集中外力作用的截面上軸力圖有突變,突變大小等于集中力的大小,突變方向看集中力對(duì)后段桿的作用是拉或壓,拉者向上突變,壓者向下突變。

上面的例題必須掌握。下面看10年的第59個(gè)真題,

59.等截面桿,軸向受力如圖所示。桿的最大軸力是:

a8kn         b5 kn          c3kn           d13kn 

 

軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

分布規(guī)律:軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力垂直于截面,為正應(yīng)力。且正應(yīng)力在整個(gè)橫截面上均勻分布,如圖524所示。

正應(yīng)力公式                           

式中 n為軸力(n),a為橫截面面積()。 應(yīng)力單位  n/㎡即pa

軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

斜截面上的應(yīng)力均勻分布,如圖525,

其總應(yīng)力及應(yīng)力分量為:

總(全)應(yīng)力:

斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力

式中  α—由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面外法線的夾角,以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正;—斜截面mm的截面積;—橫截面上的正應(yīng)力。

拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)?!?/span>以其對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩時(shí)為正,反之為負(fù)。

根據(jù)公式可以看出:軸向拉壓桿中最大正應(yīng)力發(fā)生在α=0度的橫截面上,最小正應(yīng)力發(fā)生在α=90°的縱截面上,其值分別為:

最大剪應(yīng)力發(fā)生在α=±45°斜截面上,最小剪應(yīng)力發(fā)生在α=0度的橫截面和α=的縱截面上,其值分別為

下面看一個(gè)例題:這個(gè)題考的就是基本概念,很簡(jiǎn)單,根據(jù)上面的公式得到答案是c,

五、強(qiáng)度條件

(一)許用應(yīng)力

材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力,由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。

塑性材料   

脆性材料

式中:σs為屈服極限,σb為抗拉強(qiáng)度-強(qiáng)度極限,ns,nb為安全系數(shù)(大于1)?!?/span>

(二)強(qiáng)度條件

構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件為

強(qiáng)度條件可以解決的三類問(wèn)題:

強(qiáng)度校核:

截面設(shè)計(jì)anmax/[σ]

確定許可荷載:nmax≤[σ]a

根據(jù)平衡條件,由nmax計(jì)算容許的外力[p]。

六、軸向拉壓桿的變形 和虎克定律

(一)軸向拉壓桿的變形

桿件在軸向拉伸時(shí),軸向伸長(zhǎng),橫向縮短;而在軸向壓縮時(shí),軸向縮短,橫向伸長(zhǎng)。

軸向變形△ll’l    

軸向線應(yīng)變?chǔ)牛健?/span>l/l 

橫向變形  a=a’a

橫向線應(yīng)變?chǔ)?/span>’=a/a

(二)虎克定律

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料比例極限時(shí),應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即

σ=eε

式中  e為材料的彈性模量。

或用軸力及桿件變形量表示為

l= nl/ea

式中  ea為桿的抗拉()剛度,表示桿件抵抗拉、壓彈性變形的能力。

虎克定律可以描述為:在比例極限(材料發(fā)生線彈性變形對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)力)內(nèi),桿的總線變形△l與軸力n,桿長(zhǎng)l成正比,與乘積ea成反比。

(三)泊松比-橫向變形系數(shù)

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí),橫向線應(yīng)變?chǔ)?/span>,與縱向線應(yīng)變?chǔ)胖鹊慕^對(duì)值為一常數(shù)。即

ν=∣ε/ε∣

泊松比ν是材料的彈性常數(shù)之一,無(wú)量綱。

(四)變形能

桿件在外力作用下因變形而貯存的能量稱為變形能。若變形是彈性的,則稱為彈性變形能。軸向拉壓桿的彈性變形能為

  

變形能的單位為焦耳(j)

比能: 單位體積內(nèi)貯存的變形能,稱為比能。

軸向拉壓桿的彈性變形比能為

比能單位jm3。

[5-2-25-2-7所示鋼木組合三角架中,鋼桿ab的直徑d=28㎜,許用應(yīng)力[σ]1=160mpa,彈性模量e1=2×105mpa;木桿bc的橫截面為正方形,邊長(zhǎng)d=100㎜,許用應(yīng)力[σ] 2=5mpa,彈性模量e2=1×104mpaa、b、c節(jié)點(diǎn)均為鉸接, 在節(jié)點(diǎn)b處作用一垂直荷載p

1.若荷載p=36kn,試校核兩桿的強(qiáng)度,并求節(jié)點(diǎn)b的位移;

2.求該結(jié)構(gòu)的許可荷載;

3.若p等于許可荷載,計(jì)算鋼桿的直徑。

 []  1.校核兩桿的強(qiáng)度

先求各桿的內(nèi)力。取節(jié)點(diǎn)b為脫離體,如圖(b)所示。由平衡條件:

  解得

 

兩桿橫截面上的應(yīng)力

所以,兩桿均滿足強(qiáng)度條件。

  2.求節(jié)點(diǎn)b的位移

應(yīng)先計(jì)算兩桿在p力作用下的變形。

然后作變形位移圖。結(jié)構(gòu)變形后兩桿仍應(yīng)相交在一點(diǎn),這就是變形的相容條件。因桿ab受拉力而伸長(zhǎng)△l1,b點(diǎn)移至新位置b1;因桿cb受壓力而縮短△l2,b點(diǎn)移至新位置b2。在小變形條件下,可用切線代替圓弧來(lái)確定節(jié)點(diǎn)b的新位置。即過(guò)b1b2分別作ablab2的垂線,兩垂線的交點(diǎn)b’即為節(jié)點(diǎn)b的新位置,如圖(c)所示。從圖中可看出:

b點(diǎn)的水平位移為

b點(diǎn)的垂直位移為

所以,b點(diǎn)的位移為

3.求結(jié)構(gòu)的許可荷載[p]

由強(qiáng)度條件,鋼桿的許可軸力為

相應(yīng)的許可荷載為

同理,木桿的許可軸力為

相應(yīng)的許可荷載為

為了保證兩桿都能安全、正常地工作,結(jié)構(gòu)的許可荷載應(yīng)取上述[p]1[p]2中的較小值。即

[p]1=[p]2=37.5kn

    4.重新選擇鋼桿的直徑

當(dāng)p= [p] =37.5kn時(shí),木桿的工作應(yīng)力剛好等于許用應(yīng)力,材料得到充分利用。但鋼桿的工作應(yīng)力比其許用應(yīng)力小得多,表明它有多余的強(qiáng)度儲(chǔ)備,故應(yīng)重新選擇鋼桿的直徑,使其達(dá)到既安全又經(jīng)濟(jì)的要求。由強(qiáng)度條件

于是,選取鋼桿直徑d22㎜,則鋼桿的工作應(yīng)力比其許用應(yīng)力大28%,在工程上允許范圍(±5)以內(nèi)。