5.8彎曲變形

一、粱的撓度與轉(zhuǎn)角

（一）撓曲線

在外力作用下，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣膹椥郧€，梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。

在平面彎曲下，撓曲線為梁形心主慣性平面內(nèi)的一條平面曲線v=f(x)(見圖5-8-1)。

（二）撓度與轉(zhuǎn)角

梁彎曲變形后，梁的每一個橫截面都要產(chǎn)生位移，它包括三部分：

1. 撓度：梁橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為撓度，記作v。沿梁軸各橫截面撓度的變化規(guī) 律，即為梁的撓曲線方程。

v=f(x)

2．轉(zhuǎn)角：橫截面相對原來位置繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角，記作θ。小變形情況下，

3．此外，橫截面形心沿梁軸線方向的位移，小變形條件下可忽略不計。

(三)撓曲線近似微分方程

在線彈性范圍、小變形條件下，撓曲線近似微分方程為

上式是在圖5—8—l所示坐標(biāo)系下建立的。撓度v向下為正，轉(zhuǎn)角θ順時針轉(zhuǎn)為正。

二、積分法計算梁的位移

根據(jù)撓曲線近似微分方程(5—8—1)，積分兩次，即得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，即由

式中積分常數(shù)c、d，可由梁的邊界條件來確定。當(dāng)梁的彎矩方程需分段列出時，撓曲線微分方程也需分段建立，分段積分。于是全梁的積分常數(shù)數(shù)目將為分段數(shù)目的兩倍。為了確定全部積分常數(shù)，除利用邊界條件外，還需利用分段處撓曲線的連續(xù)條件(在分界點(diǎn)處左、右兩段梁的轉(zhuǎn)角和撓度均應(yīng)相等)。

三、用疊加法求梁的位移

（一）疊加原理

幾個荷載同時作用下梁的任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角等于各個荷載單獨(dú)作用下同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的總和。

（二）疊加原理的適用條件

疊加原理僅適用于線性函數(shù)。要求撓度、轉(zhuǎn)角為梁上荷載的線性函數(shù)，必須滿足：

1．材料為線彈性材料；

2．梁的變形為小變形；

3．結(jié)構(gòu)幾何線性。

（三）疊加法的特征

1．各荷載同時作用下?lián)隙取⑥D(zhuǎn)角等于單獨(dú)作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角的總和，應(yīng)該是幾何和，同一方向的幾何和即為代數(shù)和。

2．梁在簡單荷載作用下的撓度、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或可查手冊。

3．疊加法適宜于求梁某一指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

疊加法求梁變形的主要步驟是：首先分解荷載，使之成為幾個只作用一個荷載的簡單梁，再計算或從材料力學(xué)教材的典型變形表上查得各簡單梁的變形，最后疊加到總變形。

[例 5—8—1] 用積分法求圖5—8—3所示各梁的撓曲線方程時，試問應(yīng)分為幾段?將出現(xiàn)幾個積分常數(shù)? 并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。

[解]

. (a)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

邊界條件為

連續(xù)條件為

(b)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

邊界條件為

式中 k為彈簧的剛度。

連續(xù)條件為

(c)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

邊界條件為

連續(xù)條件為

分析與討論

(1)凡荷載有突變處、有中間支承處、截面有變化處或材料有變化處，均應(yīng)作為分段點(diǎn)。

(2)中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)。

(3)各分段點(diǎn)處都應(yīng)列出連續(xù)條件。根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角值。在中間鉸處，雖然兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。

[例5-8-2] 試用疊加法求圖5-8—4所示外伸梁外伸端c點(diǎn)的撓度v_c和轉(zhuǎn)角θ_c。

[解] 將荷載分解為b)、(c)、(d)三種情況，每種情況下的轉(zhuǎn)角、撓度可查表得到：

由疊加原理：

第九節(jié)　應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論

本節(jié)大綱要求:平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法和應(yīng)力圓法；主應(yīng)力和最大切應(yīng)力；廣義虎克定律；四個常用的強(qiáng)度理論。

一、應(yīng)力狀態(tài)的概念

（一）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

通過受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力情況稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

（二）一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的表示法——單元體

圍繞所研究的點(diǎn)，截取一個邊長為無窮小的正六面體，用各面上的應(yīng)力分量表示周圍材料對其作用。稱為應(yīng)力單元體。

特點(diǎn)：

1．單元體的尺寸無限小，每個面上的應(yīng)力為均勻分布。

2．單元體表示一點(diǎn)處的應(yīng)力，故相互平行截面上的應(yīng)力相同。

（三）主平面、主應(yīng)力、主單元體

主平面：單元體中剪應(yīng)力等于零的平面。

主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。

可以證明：受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)，均存在三個互相垂直的主平面。三個主應(yīng)力用σ_l、σ₂

和σ₃表示，且按代數(shù)值排列即σ_l>σ₂>σ₃。

主單元體：用三對互相垂直的主平面取出的單元體。

（四）應(yīng)力狀態(tài)的分類

根據(jù)主單元體上三個主應(yīng)力中有幾個是非零的數(shù)值，可將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：

1．單向應(yīng)力狀態(tài) 只有一個主應(yīng)力不等于零。

2．二向應(yīng)力狀態(tài) 有兩個主應(yīng)力不等于零。

3．三向應(yīng)力狀態(tài) 三個主應(yīng)力都不等于零。

單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。單向及二向應(yīng)力狀態(tài)又稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。

二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

平面應(yīng)力狀態(tài)通常用單元體中主應(yīng)力為零的那個主平面的正投影表示如圖5—9—1所示。

（一）任意斜截面上的應(yīng)力

若已知一平面應(yīng)力狀態(tài)σ_x、σ_y、τ_xy,則與x軸成a^。角的斜截面上的應(yīng)力分量為

式中正應(yīng)力σ以拉應(yīng)力為正；剪應(yīng)力τ以對單元體產(chǎn)生順時針力矩者為正，α角以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?/span>

（二）主平面、主應(yīng)力

主平面的方位角α₀

主應(yīng)力

考慮到單元體零應(yīng)力面上的主應(yīng)力為零，因此

單元體中互相垂直的兩個截面上的正應(yīng)力之和為常量，即

式中 β=α+90°。

（三）主剪應(yīng)力及其作用面

作用面方位角α₁

數(shù)值

必須說明：

1．主剪應(yīng)力τ_xy_主是單元體上垂直于零應(yīng)力面所有截面上剪應(yīng)力的極大值和極小值。并不一定是該點(diǎn)的最大和最小剪應(yīng)力。

2．主剪應(yīng)力作用面(主剪面)與主平面成45°角，即

三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的應(yīng)力圓法

（一）應(yīng)力圓方程

在平面應(yīng)力狀態(tài)σ_x、σ_y、τ_xy下，任意斜截面上的應(yīng)力σ_σ與τ_σ間的關(guān)系式為一個圓方程。

圓心

圓半徑

（二）應(yīng)力圓作法

若已知一平面應(yīng)力狀態(tài)σ_x、σ_y、τ_xy，則取橫坐標(biāo)為σ軸、縱坐標(biāo)為τ軸，選定比例尺；由(σ_x，τ_xy)確定點(diǎn)d_x，(σ_y，τ_yx)確定點(diǎn)d_y；連接d_xd_y交σ軸于c，以c為圓心，或為半徑作圓，即得相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓。