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4.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)

4.2.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

4.2.2 剛體的基本運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)學(xué)概述

運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律。物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律主要包括運(yùn)動(dòng)方程（描述物體在參考系中的幾何位置隨時(shí)間變化關(guān)系的表達(dá)式）、運(yùn)動(dòng)軌跡（物體在空間所經(jīng)過(guò)的路線）、速度和加速度，研究這些內(nèi)容的部分又稱為運(yùn)動(dòng)學(xué)；研究運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與受外力之間的關(guān)系的部分又稱為動(dòng)力學(xué)。

4.2.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

1、運(yùn)動(dòng)方程

　　此式即為點(diǎn)在已知軌跡時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程。這種研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方法稱為自然法。顯然，采用自然法的前提是已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

2、速度

　　速度是描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的物理量，速度是矢量，其單位是米／秒（）。

點(diǎn)沿已知軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)其的弧坐標(biāo)變化量為。則其在內(nèi)平均速度的大小為：

在時(shí)的平均速度就是點(diǎn)的瞬時(shí)速度，即

上式表明，點(diǎn)的等于其運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，其方向沿軌跡在該點(diǎn)的切線方向。

3、加速度

　　加速度是描述點(diǎn)的速度大小和方向變化快慢的物理量，加速度也是矢量，其單位為:米／秒^２（）。

　　當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度不但大小變化，而且方向也變化，因此，點(diǎn)的加速度就包括兩個(gè)分量：一個(gè)描述速度大小的變化，其方向沿軌跡在該點(diǎn)的切線方向，稱為切向加速度，用a_t表示；另一個(gè)描述速度方向的變化，其方向沿軌跡在該點(diǎn)的法線方向，指向曲率中心，稱為法向加速度，用a_n表示。

　　可以推導(dǎo)：點(diǎn)的切向加速度大小等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)；點(diǎn)的法向加速度大小等于速度的平方除以軌跡在該點(diǎn)處的曲率半徑。即

顯然，點(diǎn)的全加速度等于其切向加速度與其法向加速度的矢量和其大小和方向?yàn)椋?/span>

式中，q表示a與x軸正向的夾角。

例題如圖為一搖桿滑道機(jī)構(gòu)?；瑝Kｍ可同時(shí)在搖桿ｏａ的滑槽中和半徑為r的固定圓弧滑道中滑動(dòng)。已知，開(kāi)始時(shí)ｏａ處于水平位置，j＝wt（w為常數(shù)）。求滑塊ｍ的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。

解：(1)以滑塊ｍ為研究對(duì)象。由于ｍ在固定圓弧滑道內(nèi)滑動(dòng)，因此其運(yùn)動(dòng)軌跡是以ｏ₁為圓心、ｒ?yàn)榘霃降膱A弧。

　(2)用自然法研究ｍ的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。選ｍ的初始位置ｍ₀為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，正負(fù)如圖所示。由圖中的幾何關(guān)系可知，ｍ點(diǎn)在任意瞬時(shí)的弧坐標(biāo)為：

此即ｍ點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

(3)求ｍ點(diǎn)的速度和加速度。

　　速度：其方向垂直于ｏ₁ｍ，指向弧坐標(biāo)的正向。

加速度：

其方向與相同，即沿ｍｏ₁指向ｏ₁。

4、直角坐標(biāo)法研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若其運(yùn)動(dòng)軌跡未知，可用直角坐標(biāo)法研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

?。?span lang=en-us>1）運(yùn)動(dòng)方程

在點(diǎn)ｍ的運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系ｏxy，則點(diǎn)ｍ的位置可由坐標(biāo)x、y來(lái)描述，而點(diǎn)ｍ的位置又隨時(shí)間而連續(xù)變化，因此坐標(biāo)x、y均是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即

此即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的直角坐標(biāo)式。在上式中若消去時(shí)間t，則可得到點(diǎn)的軌跡方程：

（2）速度

　　設(shè)在瞬時(shí)t，點(diǎn)ｍ的位置為（x，y），經(jīng)過(guò)時(shí)間dt后，運(yùn)動(dòng)到（x'，y'）點(diǎn)，如圖所示。在時(shí)間dt 內(nèi)ｍ點(diǎn)的位移為ｍｍ'，則其平均速度為：

　　其瞬時(shí)速度為：

　　將位移ｍｍ'向x、y軸分別投影，可得速度在x、y軸投影：

　　上式表明，速度在直角坐標(biāo)軸上的投影分別等于該點(diǎn)位置的相應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

　　求出速度的投影后，即可求得速度的大小和方向：

　　式中，a表示v與x軸正向的夾角，其具體指向可由、的正負(fù)判定。

（3）加速度

　　仿照求速度的方法，可得加速度在x、y軸的投影：

　　全加速度的大小和方向分別為：

　　式中，q表示a與x軸正向的夾角，其具體指向可由a_x、a_y的正負(fù)判定。

4.2.2、剛體基本運(yùn)動(dòng)

1、剛體的平動(dòng)

在剛體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若其上任意一條直線始終與其初始位置保持平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平動(dòng)。剛體的平動(dòng)在工程實(shí)際中是十分常見(jiàn)的，如列車車箱的運(yùn)動(dòng)、平行雙曲柄機(jī)構(gòu)中連桿的運(yùn)動(dòng)等。

2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

在剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若其體內(nèi)或其延伸部分有一條直線始終保持不動(dòng)，而其余各點(diǎn)均繞此直線作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。固定不動(dòng)的直線叫轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律包括轉(zhuǎn)動(dòng)方程、角速度、角加速度。

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)方程

如圖所示，剛體繞ｚ軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，為了確定剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的位置，先過(guò)ｚ軸做一與地面固連在一起的固定平面ⅰ，然后再過(guò)z軸做一與轉(zhuǎn)動(dòng)剛體固連的動(dòng)平面 ⅱ。這樣，就可以用動(dòng)平面 ii與固定平面 i之間的夾角φ來(lái)確定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的位置。φ稱為轉(zhuǎn)角，是代數(shù)量，其正負(fù)表示剛體的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定：從ｚ軸正向看去，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，φ取“＋”；剛體順針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，φ取“－”。轉(zhuǎn)角j的單位為弧度（rad）。

顯然，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角j隨時(shí)間的變化而變化，是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即：

　　此即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方程，它描述了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)位置隨時(shí)間的變化規(guī)律。

（2）角速度

　　角速度是轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的變化率，是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢及轉(zhuǎn)向的物理量。

　　平均角速度在時(shí)的極限就是剛體的瞬時(shí)角速度，即：

　　上式表明，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

　　角速度w也是代數(shù)量。當(dāng)時(shí)，表示剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，表示剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度的單位是弧度／秒（rad／s）。工程中還常用轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分（）表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，二者間的關(guān)系為：

（3）角加速度

　　角加速度是角速度對(duì)時(shí)間的變化率，是描述剛體角速度變化快慢的物理量。

　　平均角加速度在t趨近于零時(shí)的極限就是剛體的瞬時(shí)角加速度，即：

　　上式表明，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。

　　角加速度e也是代數(shù)量，其單位是弧度／秒²（rad／s²）。當(dāng)e與w符號(hào)相同時(shí)，表示剛體加速轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)e與w符號(hào)相反時(shí)，表示剛體減速轉(zhuǎn)動(dòng)。

例題：已知某軸制動(dòng)后的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為（以rad計(jì)，t以s計(jì)），求時(shí)軸的角速度和角加速度。

解：

將代入上式得：

時(shí)軸的角速度和角加速度分別為和。

3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度

　　一、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

　　當(dāng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)各點(diǎn)均在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)ｍ為剛體內(nèi)的任意一點(diǎn)，到轉(zhuǎn)軸的距離為ｒ（稱為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑）。若以剛體的轉(zhuǎn)角為時(shí)點(diǎn)ｍ的位置ｍ₀為原點(diǎn)建立自然坐標(biāo)，則在任一瞬時(shí)t，ｍ點(diǎn)的弧坐標(biāo)為：

ｓ＝ｒφ

此式即為ｍ點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

　　二、速度

　　由得轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的速度大小為：

　　上式表明，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的速度大小等于剛體的角速度與該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積。顯然，速度的方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑并指向轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。

三、加速度

　　由于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，因此其加速度可分解為切向加速度和法向加速度。

　　切向加速度的大小為：

　　法向加速度的大小為：

　顯然，切向加速度的方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑并與角速度的轉(zhuǎn)向一致；法向加速度的方向沿轉(zhuǎn)動(dòng)半徑指向轉(zhuǎn)軸。

　剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的全加速度的大小和方向?yàn)椋?/span>

　　式中θ表示全加速度與法向加速度（轉(zhuǎn)動(dòng)半徑）的夾角。

例題：如圖所示，起重機(jī)鼓輪直徑，鋼絲繩繞在鼓輪上，下端懸有重物。設(shè)鋼絲繩不可伸長(zhǎng)且與鼓輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。若起吊時(shí)鼓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為（以計(jì)，t以ｓ計(jì)），求：(1)重物的加速度，(2)起吊后2ｓ時(shí)重物的速度，(3)起吊后2ｓ內(nèi)重物上升的高度。