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5.9應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論

主要內(nèi)容：斜截面上的應(yīng)力；二向應(yīng)力狀態(tài)的解析分析和應(yīng)力圓。三向應(yīng)力簡(jiǎn)介。

知識(shí)點(diǎn)一:應(yīng)力狀態(tài)概述(了解) 

1．應(yīng)力狀態(tài)

過構(gòu)件上一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

2．單向拉伸時(shí)斜截面上的應(yīng)力

橫截面上的正應(yīng)力

斜截面上的應(yīng)力

 

斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為

可以得出

時(shí)   

時(shí)

過a點(diǎn)取一個(gè)單元體，如果單元體的某個(gè)面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，則此平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。

主單元體  若單元體三個(gè)相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱為主單元體。三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)不為零，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不為零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)主應(yīng)力中都不為零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。主單元體三個(gè)主平面上的主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列，即為。

知識(shí)點(diǎn)二:平面應(yīng)力解析法(掌握)

1.任意斜截面上的應(yīng)力

在基本單元體上取任一截面位置，截面的法線。

在外法線和切線上列平衡方程

        

  

       

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，，并考慮到下列三角關(guān)系

               ，

 

簡(jiǎn)化兩個(gè)平衡方程，得

 

2．極值應(yīng)力

將正應(yīng)力公式對(duì)取導(dǎo)數(shù)，得

若時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)，則

                                              

上式有兩個(gè)解：即和。在它們所確定的兩個(gè)互相垂直的平面上，正應(yīng)力取得極值。且絕對(duì)值小的角度所對(duì)應(yīng)平面為最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。求得最大或最小正應(yīng)力為

                                   

代入剪力公式，為零。這就是說，正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。

將切應(yīng)力公式對(duì)求導(dǎo)，令

若時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)，則在所確定的截面上，剪應(yīng)力取得極值。通過求導(dǎo)可得

                                            

求得剪應(yīng)力的最大值和最小值是：

                                             

與正應(yīng)力的極值和所在兩個(gè)平面方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系相似，剪應(yīng)力的極值與所在兩個(gè)平面方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：若，則絕對(duì)值較小的對(duì)應(yīng)最大剪應(yīng)力所在的平面。

3．主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系

   與之間的關(guān)系為

這表明最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為。

知識(shí)點(diǎn)三：平面應(yīng)力應(yīng)力圓法（熟悉）

1．應(yīng)力圓方程

將公式   中的削掉，得

由上式確定的以和為變量的圓，這個(gè)圓稱作應(yīng)力圓。圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為零，圓的半徑為。

2．應(yīng)力圓的畫法

建立應(yīng)力坐標(biāo)系（注意選好比例尺）

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)和 

與軸的交點(diǎn)c便是圓心

以c為圓心，以ad為半徑畫圓——應(yīng)力圓。

3．單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1）圓上一點(diǎn)坐標(biāo)等于微體一個(gè)截面應(yīng)力值

2）圓上兩點(diǎn)所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍

3）對(duì)應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同

4．在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力

知識(shí)點(diǎn)四：三向應(yīng)力狀態(tài)（一般知識(shí)點(diǎn)）

1．三個(gè)主應(yīng)力

 

2.三向應(yīng)力圓的畫法

由作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力

由作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力

由作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力

3．單元體正應(yīng)力的極值為               

，

最大的剪應(yīng)力極值為

知識(shí)點(diǎn)五：廣義虎克定律（了解）

 

1．單拉下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

，

2．復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力— 應(yīng)變關(guān)系

三向應(yīng)力狀態(tài)等三個(gè)主應(yīng)力，可看作是三組單向應(yīng)力的組合。對(duì)于應(yīng)變，可求出單向應(yīng)力引起的應(yīng)變，然后疊加可得

             

3．體積胡克定律

單元體變形后的體積為

單元體變形后的體積為

體積改變?yōu)?/span>

其中為體積模量，是三個(gè)主應(yīng)力的平均值。為體積胡克定律。

知識(shí)點(diǎn)六：強(qiáng)度理論（了解）

1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)力達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞拉應(yīng)力數(shù)值。                        

 

－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力

－極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得

 

2. 最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。                        

 

 

－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變

 

 

 －極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得

 

 

 

3. 最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。

 

 

 －構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力

 

 

 －極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得

 

 

4. 形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。

 

 

 －構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能

 

 

 

 －形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得