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第三章測(cè)量數(shù)據(jù)處理

本章共分三節(jié)：

第一節(jié)：測(cè)量誤差的處理

第二節(jié)：測(cè)量不確定度的評(píng)定與表示

第三節(jié)：測(cè)量結(jié)果的處理和報(bào)告

考試基本要求：

1.根據(jù)誤差理論及相關(guān)知識(shí)，區(qū)分兩類不同性質(zhì)的誤差，并能在實(shí)際測(cè)量工作中減小系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。（第一節(jié)）

2.根據(jù)測(cè)量不確定度評(píng)定與表示方法，分析測(cè)量不確定度的來源，評(píng)定測(cè)量結(jié)果的a類與b類標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，處理不確定度分量間的相關(guān)性，計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，確定測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度，報(bào)告測(cè)量結(jié)果及其測(cè)量不確定度。（第二節(jié)）

3.根據(jù)數(shù)字修約規(guī)則，確定測(cè)量不確定度和測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)的有效位數(shù)。（第三節(jié)）

4.根據(jù)概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，判別和剔除測(cè)量數(shù)據(jù)中的異常值，計(jì)算算術(shù)平均值、加權(quán)算術(shù)平均值、實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差、測(cè)量重復(fù)性和測(cè)量復(fù)現(xiàn)性。（第一節(jié)）

5.根據(jù)測(cè)量?jī)x器特性評(píng)定方法，評(píng)定計(jì)量器具的計(jì)量特性，計(jì)算計(jì)量器具的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和引用誤差。（第一節(jié)）

6.根據(jù)合格判定的原則，給出計(jì)量器具合格與否的檢定結(jié)論。（第一節(jié)）

第一節(jié) 測(cè)量誤差的處理

知識(shí)點(diǎn)：測(cè)量誤差的一般分類

1、系統(tǒng)誤差（可定誤差）：

由于系統(tǒng)原因引起的誤差，重復(fù)出現(xiàn)，單向性；

大小在一定條件下恒定不變；但也存在隨被測(cè)量值變化的系統(tǒng)誤差（例：彈簧秤）

大小可測(cè)出并校正，故又稱為可定誤差。

可以用對(duì)照試驗(yàn)、空白試驗(yàn)、校正儀器等加以校正。

2、隨機(jī)誤差：

由于某些偶發(fā)因素所引起的誤差；

方向大小不固定，但可以通過校正系統(tǒng)誤差后，多次試驗(yàn)獲其分布規(guī)律可通過多次重復(fù)測(cè)量、規(guī)范測(cè)量操作等途徑進(jìn)行控制。

例如：用單位為厘米的尺子測(cè)同一個(gè)人的身高，某個(gè)測(cè)量員測(cè)得值為1.735米，而另一個(gè)測(cè)量員測(cè)得值可能為1.736米或1.734米等等。

為了使測(cè)量結(jié)果更可靠，需要校正系統(tǒng)誤差和控制隨機(jī)誤差

知識(shí)點(diǎn)：系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（識(shí)別）和減小系統(tǒng)誤差的方法

要減小和較正系統(tǒng)誤差，首先要找出引發(fā)系統(tǒng)誤差的原因并估計(jì)系統(tǒng)誤差的大小：（對(duì)癥下藥，采取措施。例：市場(chǎng)賣菜的稱）

有時(shí)候要完全識(shí)別系統(tǒng)誤差是哪種因素引起的不太容易，而要完全消除系統(tǒng)誤差則是更加困難的。

（一）系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（識(shí)別）方法

(1)恒定系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（識(shí)別）：

在規(guī)定的測(cè)量條件下多次測(cè)量同一個(gè)被測(cè)量，從所得測(cè)量結(jié)果與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值之差可以發(fā)現(xiàn)并得到恒定的系統(tǒng)誤差的估計(jì)值。

(2)可變系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（識(shí)別）：

改變測(cè)量條件，例如隨時(shí)間、溫度、頻率等條件，測(cè)量結(jié)果按某一確定的規(guī)律變化，可能是線性地或非線性地增長(zhǎng)或減小，就可以發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果中存在可變的系統(tǒng)誤差。

(二)減小系統(tǒng)誤差的方法

要完全消除系統(tǒng)誤差比較困難，但降低系統(tǒng)誤差則是可能的。

通常，消除或減小系統(tǒng)誤差有以下幾種方法：

1、修正值法（系統(tǒng)誤差估計(jì)值已知時(shí)）

例如：某次測(cè)量結(jié)果為30⁰c，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值為-0.1⁰c，也就是修正值為+0.1⁰c；（修正值與誤差估計(jì)值符號(hào)相反，絕對(duì)值相等）

修正測(cè)量結(jié)果=未修正測(cè)量結(jié)果+修正值

修正測(cè)量結(jié)果為=30⁰c +0.1⁰c=30.1⁰c。

2、消因法（消除引起系統(tǒng)誤差因素：盡可能減少或消除一切產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素）

例如：

當(dāng)已知測(cè)量的主要系統(tǒng)誤差是由于測(cè)量?jī)x器引發(fā)時(shí)，應(yīng)在試驗(yàn)或測(cè)量?jī)x器使用時(shí)，應(yīng)對(duì)測(cè)量?jī)x器先行校準(zhǔn)，再對(duì)操作者使用儀器進(jìn)行規(guī)范，以便減小誤差。

當(dāng)已知測(cè)量的主要系統(tǒng)誤差是由于讀數(shù)或示數(shù)引發(fā)時(shí)，可能由于模擬式儀表讀數(shù)時(shí)，由于測(cè)量人員每個(gè)人的習(xí)慣不同會(huì)導(dǎo)致讀數(shù)誤差，就采用數(shù)字顯示儀器后來消除人為讀數(shù)誤差。

3、抵消法（中和法）：（連因素都找不到的時(shí)候）

通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臏y(cè)量程序，使多次測(cè)量的系統(tǒng)誤差相互抵消而不致帶入測(cè)量結(jié)果中的方法試驗(yàn)和測(cè)量中常用的幾種方法：

(1)恒定系統(tǒng)誤差消除法：

①異號(hào)法

改變測(cè)量中的某些條件，例如測(cè)量方向、電壓極性等，使兩種條件下的測(cè)量結(jié)果中的誤差符號(hào)相反，取其平均值以消除系統(tǒng)誤差。

【案例】帶有螺桿式讀數(shù)裝置的測(cè)量?jī)x存在空行程（延遲作用），即螺旋旋轉(zhuǎn)時(shí)，刻度變化而量桿不動(dòng)，引起測(cè)量的系統(tǒng)誤差。為消除這一系統(tǒng)誤差，可從兩個(gè)方向?qū)€。

第一次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)準(zhǔn)刻度讀數(shù)為d，設(shè)不含系統(tǒng)誤差的值為a，空行程引起的恒定系統(tǒng)誤差為e，則d=a+e；

第二次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)準(zhǔn)刻度讀數(shù)為d′，此時(shí)空行程引起的恒定系統(tǒng)誤差為-e，即d′= a-e。于是取平均值就可以得到消除了系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果：a=（d+d′）/2。

②交換法

將測(cè)量中的某些條件適當(dāng)交換，例如被測(cè)物的位置相互交換，設(shè)法使兩次測(cè)量中的誤差源對(duì)測(cè)結(jié)果的作用相反，從而抵消了系統(tǒng)誤差。

例如：

用天平稱重，已知系統(tǒng)誤差是由于天平不等臂引起的，則使用如下程序：

第一次在右邊秤盤中放置被測(cè)物x，在左邊秤盤中放置砝碼p，天平平衡時(shí)被測(cè)物的質(zhì)量為x=p*l_l/l₂，當(dāng)兩臂相等(l_l=l₂)時(shí)x=p；

第二次，將被測(cè)物與砝碼互換位置，此時(shí)天平不會(huì)平衡，改變砝碼質(zhì)量到p′時(shí)天平平衡，則這時(shí)被測(cè)物的質(zhì)量為x=p′*l₂/l₁。

x=（p p′）^1/2

③替代法

　　保持測(cè)量條件不變，用某一已知量值的標(biāo)準(zhǔn)器替代被測(cè)件再作測(cè)量，使指示儀器的指示不變或指零，這時(shí)被測(cè)量等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量，達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。

【案例1】采用高頻替代法校準(zhǔn)微波衰減器，其測(cè)量原理圖如圖3-1所示。

圖3-1高頻替代法校準(zhǔn)微波衰減器測(cè)量原理圖

當(dāng)被校衰減器衰減刻度從a_l改變到a₂時(shí)，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)衰減器從a_sl到a_s2，使接收機(jī)指示保持不變，則被校衰減器的衰減變化量a_l一a₂=a_x等于標(biāo)準(zhǔn)衰減器的衰減變化量a_s=a_s2一a_sl_，，可以使微波信號(hào)源和測(cè)量接收機(jī)在校準(zhǔn)中不引入系統(tǒng)誤差。

【案例1】用電壓表測(cè)量被檢電壓源與標(biāo)準(zhǔn)電壓源的輸出電壓之差，由于電壓表零位存在線性漂移(如圖3-2所示)，會(huì)使測(cè)量引入可變的系統(tǒng)誤差。此時(shí)可以采用下列測(cè)量步驟來消除這種系統(tǒng)誤差：

順序測(cè)量4次，在t₁時(shí)刻從電壓表上讀得標(biāo)準(zhǔn)電壓源的電壓測(cè)量值a，在t₂時(shí)刻從電壓表上讀得被檢電壓源的電壓測(cè)量值x，在t₃時(shí)刻從電壓表上再讀得被檢電壓源的電壓測(cè)量值x′，在t₄時(shí)刻再讀得標(biāo)準(zhǔn)電壓源的電壓測(cè)量值a′。

a＇≥／／／′′

圖3-2對(duì)稱測(cè)量法

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)電壓源和被檢電壓源的電壓分別為vs和vx，系統(tǒng)誤差用ε表示，則

t₁時(shí)刻：a=vs十ε₁，

t₂時(shí)刻：x=vx十ε₂

t₃時(shí)刻：x＇=vx十ε₃

t₄時(shí)刻：a＇=vs十ε₄

測(cè)量時(shí)只要滿足t₂一t₁= t₄一t₃，當(dāng)線性漂移條件滿足時(shí)，則有：ε₂—ε₁=ε₄—ε₃

于是有：ε₂+ε₃ =ε₁+ε₄x+ x＇=2vx+ε₂+ε₃a+ a＇=2vs+ε₁+ε₄

vx—vs =(x+ x＇)/2—(a+ a＇)/2　，

由上式得到的被檢電壓源與標(biāo)準(zhǔn)電壓源的輸出電壓之差測(cè)量結(jié)果中消除了由于電壓表線性漂移引入的系統(tǒng)誤差。

②半周期偶數(shù)測(cè)量法（應(yīng)對(duì)周期性系統(tǒng)誤差）

——這種方法廣泛用于測(cè)角儀上。

周期性系統(tǒng)誤差通常可以表示為：

ε=asin

式中：t——誤差變化的周期；

l——決定周期性系統(tǒng)誤差的自變量(如時(shí)間、角度等)。

由公式可知，因?yàn)?span style='color:red'>相隔t/2（半周期）的兩個(gè)測(cè)量結(jié)果中的誤差是大小相等符號(hào)相反的。

——所以凡相隔半周期的一對(duì)測(cè)量值的平均值中不再含有此項(xiàng)系統(tǒng)誤差。

(三)修正系統(tǒng)誤差的方法

1.在測(cè)量結(jié)果上加修正值（系統(tǒng)誤差為常數(shù)時(shí)）

　　——修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計(jì)值的大小，但符號(hào)相反。

——當(dāng)測(cè)量結(jié)果與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值比較時(shí)，測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值的差值為測(cè)量結(jié)果系統(tǒng)誤差估計(jì)值。

δ=—x_s式中：δ——測(cè)量結(jié)果的系統(tǒng)誤差估計(jì)值；

　　——未修正的測(cè)量結(jié)果；

　　x_s——標(biāo)準(zhǔn)值。

　注意的是：當(dāng)對(duì)測(cè)量?jī)x器的示值進(jìn)行修正時(shí)，δ為儀器的示值誤差

δ=x—x_s式中：x——被評(píng)定的儀器的示值或標(biāo)稱值；

　　x_s——標(biāo)準(zhǔn)裝置給出的標(biāo)準(zhǔn)值。

則修正值c為

c= －δ　　

已修正的測(cè)量結(jié)果x_c為x _c= +c

【案例】用電阻標(biāo)準(zhǔn)裝置校準(zhǔn)一個(gè)標(biāo)稱值為1ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)裝置的讀數(shù)為1.0003ω。問：該被校標(biāo)準(zhǔn)電阻的系統(tǒng)誤差估計(jì)值、修正值、修正后的校準(zhǔn)結(jié)果分別為多少?

【案例分析】

系統(tǒng)誤差估計(jì)值=示值誤差

=1ω－1.0003ω

=－0.0003ω

依據(jù)修正值的大小等于系統(tǒng)誤差估計(jì)值的大小，但符號(hào)相反，則

示值的修正值= +0.0003ω

　　　　　　　修正后的校準(zhǔn)結(jié)果=1ω+0.0003ω=1.0003ω

2.對(duì)測(cè)量結(jié)果乘修正因子（系統(tǒng)誤差與被測(cè)量值成比例時(shí)）

修正因子c_r等于標(biāo)準(zhǔn)值與未修正測(cè)量結(jié)果之比（常數(shù)）

c_r=x_s/

修正后的測(cè)量結(jié)果x_c為

x_c=c_r

3.畫修正曲線

　　當(dāng)測(cè)量結(jié)果的修正值隨某個(gè)影響量的變化而變化，這種影響量例如溫度、頻率、時(shí)間、長(zhǎng)度等，那么應(yīng)該將在影響量取不同值時(shí)的修正值畫出修正曲線，以便在使用時(shí)可以查曲線得到所需的修正值。例如電阻的溫度修正曲線的示意圖如圖3-3所示。

實(shí)際畫圖時(shí)，通常要采用最小二乘法將各數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成最佳曲線或直線。

圖3-3電阻溫度修正曲線

4.制定修正值表

當(dāng)測(cè)量結(jié)果同時(shí)隨幾個(gè)影響量的變化而變化時(shí)，或者當(dāng)修正數(shù)據(jù)非常多且函數(shù)關(guān)系不清楚等情況下，最方便的方法是將修正值制定成表格，以便在使用時(shí)可以查表得到所需的修正值。表格形式舉例如表3-1所示。

　　　　　　　　　　　　　　表3-1電阻的頻率和溫度修正值表ω

溫度/⁰c

頻率/h_z

200

提示注意的是：

(1)修正值或修正因子的獲得，最常用的方法是將測(cè)量結(jié)果與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)值比較得到，也就是通過校準(zhǔn)得到。修正曲線往往還需要采用實(shí)驗(yàn)方法獲得。

(2)修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子后，需要評(píng)定這些值

的不確定度。

(3)使用已修正測(cè)量結(jié)果時(shí)，該測(cè)量結(jié)果的不確定度中應(yīng)該考慮由于修正不完善引入的不確定度分量。

知識(shí)點(diǎn)：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)方法

——隨機(jī)誤差是由隨機(jī)因素引發(fā)的誤差，因?yàn)殡S機(jī)因素的不可預(yù)計(jì)和多樣性，隨機(jī)誤差的分量可能會(huì)很多，因此隨機(jī)誤差不可消除，只能通過多次重復(fù)測(cè)量加以控制，降低隨機(jī)誤差。

（本處教材概念說法有問題，出題可能性不大）

——實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差

用有限次測(cè)量的數(shù)據(jù)得到的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，用符號(hào)s表示。

實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差是表征測(cè)量值分散性的度量。

當(dāng)用多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，測(cè)量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是測(cè)量值實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍(n為測(cè)量次數(shù))。

(一)幾種常用的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)方法

在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量x作n次重復(fù)測(cè)量，每次測(cè)得值為，測(cè)量次數(shù)為n，則實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差可按以下幾種方法估計(jì)。

1.貝塞爾公式法

——適合于測(cè)量次數(shù)較多的情況

式中：——n次測(cè)量的算術(shù)平均值，

　　　　——第i次測(cè)量的測(cè)得值；

=——?dú)埐?/span>

v=n—1——自由度

　　 s(x)——(測(cè)量值x的)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

【案例】對(duì)某被測(cè)件的長(zhǎng)度重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：10.0006m， 10. 0004m，

10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征測(cè)量的重復(fù)性，請(qǐng)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

(1)計(jì)算算術(shù)平均值：

(2)計(jì)算10個(gè)殘差：

+0.0001，－0.0001，+0.0003，-0.0003，－0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，－0.0001，+0.0001

(3)計(jì)算殘差平方和：

(4)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差

所以實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)=0.00018m=0.0002m(自由度為n－1=9)。

2.最大殘差法

　　從有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一列測(cè)量值中找出最大殘差，并根據(jù)測(cè)量次數(shù)n查表3-2得到值，代入式(3-7)得到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差　　　　　 (3—7)

式中：——?dú)埐钕禂?shù)。

最大殘差法的值列于表3-2。

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20
	1.77	1.02	0.83	0.74	0.68	0.64	0.61	0.59	0.57	0.51	0.48

【案例】對(duì)于上一個(gè)案例，用最大殘差法估算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

【案例分析】計(jì)算步驟如下

（1）計(jì)算算術(shù)平均值=10. 0005m(2) 計(jì)算10個(gè)殘差vi=x_i—

　　+0.0001，-0.0001，+0.0003，-0.0003，-0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，

-0.000l，+0.000l

　 (3)找出最大殘差的絕對(duì)值為：0.0003m；

　 (4)根據(jù)n=10，查表3-2得到=0.57；

　(5)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：

3.極差法

一般在測(cè)量次數(shù)較小時(shí)采用該法。

從有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一系列測(cè)量值中找出最大值x_max和x_min，得到極差r=x_max—x_min，根據(jù)測(cè)量次數(shù)n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

s(x)=( x_max—x_min)/c (3-8)

式中：

c——極差系數(shù)。

　極差法的c值列于表3-3。

　　　　　　　　　　　　表3-3極差法的c值表

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20
cn	1.13	1.64	2.06	2.33	2.53	2.70	2.85	2.97	3.08	3.47	3.74

[$endsectin$]

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【案例】對(duì)某被測(cè)件進(jìn)行了4次測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)為：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。請(qǐng)用極差法估算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

【案例分析】

　計(jì)算步驟如下：

　　(1)計(jì)算極差：r=x_max－x_min=0.06g－0.02g=0.04g

　 (2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06；

　 (3)計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差：s(x)=( x_max—x_min)/c =0.04g/2.06=0.02g。

4.較差法

——適用于頻率穩(wěn)定度測(cè)量或天文觀測(cè)等領(lǐng)域。

從有限次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一列測(cè)量值中，將每次測(cè)量值與后一次測(cè)量值比較得到差值，代入下值得到估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差：

(二)各種估計(jì)方法的比較

貝塞爾公式法是一種基本的方法，但n很小時(shí)其估計(jì)的不確定度較大，例如n=9時(shí)，由這種方法獲得的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為25%，而n=3時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度達(dá)50%，因此它適合于測(cè)量次數(shù)較多的情況。

極差法和最大殘差法使用起來比較簡(jiǎn)便，但當(dāng)數(shù)據(jù)的概率分布偏離正態(tài)分布較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)以貝塞爾公式法的結(jié)果為準(zhǔn)。在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)常采用極差法。

較差法更適用于頻率穩(wěn)定度測(cè)量或天文觀測(cè)等領(lǐng)域。

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