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5.9應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論

主要內(nèi)容：斜截面上的應(yīng)力；二向應(yīng)力狀態(tài)的解析分析和應(yīng)力圓。三向應(yīng)力簡介。

知識點一:應(yīng)力狀態(tài)概述(了解) 

1．應(yīng)力狀態(tài)

過構(gòu)件上一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)

2．單向拉伸時斜截面上的應(yīng)力

橫截面上的正應(yīng)力

斜截面上的應(yīng)力

 

斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為

可以得出

時   

時

過a點取一個單元體，如果單元體的某個面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，則此平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。

主單元體  若單元體三個相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱為主單元體。三個主應(yīng)力中有一個不為零，稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。三個主應(yīng)力中有兩個不為零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。三個主應(yīng)力中都不為零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。主單元體三個主平面上的主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列，即為。

知識點二:平面應(yīng)力解析法(掌握)

1.任意斜截面上的應(yīng)力

在基本單元體上取任一截面位置，截面的法線。

在外法線和切線上列平衡方程

        

  

       

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，，并考慮到下列三角關(guān)系

               ，

 

簡化兩個平衡方程，得

 

2．極值應(yīng)力

將正應(yīng)力公式對取導(dǎo)數(shù)，得

若時，能使導(dǎo)數(shù)，則

                                              

上式有兩個解：即和。在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，正應(yīng)力取得極值。且絕對值小的角度所對應(yīng)平面為最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面。求得最大或最小正應(yīng)力為

                                   

代入剪力公式，為零。這就是說，正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。

將切應(yīng)力公式對求導(dǎo)，令

若時，能使導(dǎo)數(shù)，則在所確定的截面上，剪應(yīng)力取得極值。通過求導(dǎo)可得

                                            

求得剪應(yīng)力的最大值和最小值是：

                                             

與正應(yīng)力的極值和所在兩個平面方位的對應(yīng)關(guān)系相似，剪應(yīng)力的極值與所在兩個平面方位的對應(yīng)關(guān)系是：若，則絕對值較小的對應(yīng)最大剪應(yīng)力所在的平面。

3．主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系

   與之間的關(guān)系為

這表明最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為。

知識點三：平面應(yīng)力應(yīng)力圓法（熟悉）

1．應(yīng)力圓方程

將公式   中的削掉，得

由上式確定的以和為變量的圓，這個圓稱作應(yīng)力圓。圓心的橫坐標為，縱坐標為零，圓的半徑為。

2．應(yīng)力圓的畫法

建立應(yīng)力坐標系（注意選好比例尺）

在坐標系內(nèi)畫出點和 

與軸的交點c便是圓心

以c為圓心，以ad為半徑畫圓——應(yīng)力圓。

3．單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系

1）圓上一點坐標等于微體一個截面應(yīng)力值

2）圓上兩點所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍

3）對應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同

4．在應(yīng)力圓上標出極值應(yīng)力

知識點四：三向應(yīng)力狀態(tài)（一般知識點）

1．三個主應(yīng)力

 

2.三向應(yīng)力圓的畫法

由作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力

由作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力

由作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力

3．單元體正應(yīng)力的極值為               

，

最大的剪應(yīng)力極值為

知識點五：廣義虎克定律（了解）

 

1．單拉下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

，

2．復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力— 應(yīng)變關(guān)系

三向應(yīng)力狀態(tài)等三個主應(yīng)力，可看作是三組單向應(yīng)力的組合。對于應(yīng)變，可求出單向應(yīng)力引起的應(yīng)變，然后疊加可得

             

3．體積胡克定律

單元體變形后的體積為

單元體變形后的體積為

體積改變?yōu)?/span>

其中為體積模量，是三個主應(yīng)力的平均值。為體積胡克定律。

知識點六：強度理論（了解）

1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)力達到簡單拉伸時的破壞拉應(yīng)力數(shù)值。                        

 

－構(gòu)件危險點的最大拉應(yīng)力

－極限拉應(yīng)力，由單拉實驗測得

 

2. 最大伸長拉應(yīng)變理論（第二強度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應(yīng)變數(shù)值。                        

 

 

－構(gòu)件危險點的最大伸長線應(yīng)變

 

 

 －極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實驗測得

 

 

 

3. 最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達到了某一極限值。

 

 

 －構(gòu)件危險點的最大切應(yīng)力

 

 

 －極限切應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得

 

 

4. 形狀改變比能理論（第四強度理論）

    無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。

 

 

 －構(gòu)件危險點的形狀改變比能

 

 

 

 －形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得