第六章 機(jī)械運(yùn)動、機(jī)械波

　　一、主要內(nèi)容

　　本章內(nèi)容包括機(jī)械振動、回復(fù)力、振幅、周期、頻率、簡諧振動、受迫振動、共振、機(jī)械波、波長、波速、橫波、縱波、波的干涉和衍射等基本概念，以及單擺振動的周期規(guī)律、簡諧運(yùn)動的圖像、簡諧運(yùn)動中的能量轉(zhuǎn)化規(guī)律、波的圖像、波長和頻率與波速之間的關(guān)系等規(guī)律。

　　二、基本方法

　　本章中所涉及到的基本方法有：由于振動和波動的運(yùn)動規(guī)律較為復(fù)雜，且限于中學(xué)數(shù)學(xué)知識的水平，因此對于這部分內(nèi)容不可能像研究直線運(yùn)動、平拋、圓周運(yùn)動那樣從運(yùn)動方向出發(fā)描述和研究物體的運(yùn)動，而是利用圖象法對物體做簡諧運(yùn)動的運(yùn)動規(guī)律及振動在介媒中的傳播過程進(jìn)行描述與研究。圖像法具有形象、直觀等優(yōu)點(diǎn)，其中包含有豐富的物理信息，在學(xué)習(xí)時(shí)同學(xué)們要注意加以體會;另外，在研究單擺振動的過程中，對于單擺所受的回復(fù)力特點(diǎn)的分析，采取了小擺角的近似的處理，這是一種理想化物理過程的方法。

　　三、錯解分析

　　在本章知識應(yīng)用的過程中，初學(xué)者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：對于諸如機(jī)械振動、簡諧運(yùn)動、受迫振動、共振、阻尼振動、等幅振動等眾多的有關(guān)振動的概念不能深刻的理解，從而造成混淆;不能從本質(zhì)上把握振動圖象和波的圖象的區(qū)別和聯(lián)系，這主要是由于振動的圖象與波的圖象形式上非常相似，一些學(xué)生只注意圖象的形狀，而忽略了圖象中坐標(biāo)軸所表示的物理意義，因此造成了將兩個(gè)圖象相混淆。另外，由于一些學(xué)生對波的形成過程理解不夠深刻，導(dǎo)致對于波在傳播過程中時(shí)間和空間的周期性不能真正的理解和把握;由于干涉和衍射的發(fā)生條件、產(chǎn)生的現(xiàn)象較為抽象，所以一些學(xué)生不能準(zhǔn)確地把握相關(guān)的知識內(nèi)容，表現(xiàn)為抓不住現(xiàn)象的主要特征、產(chǎn)生的條件混淆不清。

　　例1 一個(gè)彈簧振子，第一次被壓縮x后釋放做自由振動，周期為T1，第二次被壓縮2x后釋放做自由振動，周期為T2，則兩次振動周期之比T1∶T2為 [ ]

　　A.1∶1 B.1∶2

　　C.2∶1 C.1∶4

　　「錯解」 壓縮x時(shí)，振幅為x，完成一次全振動的路程為4x.壓縮2x時(shí)，振幅即為2x，完成一次全振動的路程為8x.由于兩種情況下全振動的路程的差異，第二次是第一次的2倍。所以，第二次振動的周期一定也是第一次的2倍，所以選B.

　　「錯解原因」 上述解法之所以錯誤是因?yàn)榘颜褡拥倪\(yùn)動看成是勻速運(yùn)動或加速度恒定的勻加速直線運(yùn)動了。用了勻速或勻加速運(yùn)動的規(guī)律。說明這些同學(xué)還是沒有掌握振動的特殊規(guī)律。

　　「分析解答」 事實(shí)上，只要是自由振動，其振動的周期只由自身因素決定，對于彈簧振子而言，就是只由彈簧振子的質(zhì)量m和彈簧的勁度系數(shù)k決定的，而與形變大小、也就是振幅無關(guān)。所以只要彈簧振子這個(gè)系統(tǒng)不變(m，k不變)，周期就不會改變，所以正確答案為A.

　　「評析」 本題給出的錯解是初學(xué)者中最常見的錯誤。產(chǎn)生這一錯誤的原因是習(xí)慣于用舊的思維模式分析新問題，而不善于抓住新問題的具體特點(diǎn)，這反映了學(xué)習(xí)的一種思維定勢。只有善于接受新知識、新方法，并將其運(yùn)用到實(shí)際問題中去，才能開闊我們分析、解決問題的思路，防止思維定勢。

　　例2 一個(gè)單擺，如果擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍，擺球經(jīng)過平

　　A.頻率不變，振幅不變 B.頻率不變，振幅改變

　　C.頻率改變，振幅不變 D.頻率改變，振幅改變

　　「錯解」 錯解一：因?yàn)閱螖[的周期(頻率)是由擺長l和當(dāng)?shù)刂?/P>

　　變(指平衡位置動能也就是最大動能)，由機(jī)械能守恒可知，勢能也不變。所以振幅也不變，應(yīng)選A.

　　而振幅與質(zhì)量、速度無關(guān)(由上述理由可知)所以振幅不變，應(yīng)選C.

　　錯解三：認(rèn)為頻率要改變，理由同錯解二。而關(guān)于振幅的改變與否，除了錯解一中所示理由外，即總能量不變，而因?yàn)橹亓菽蹺P=mgh，EP不變，m變?yōu)樵瓉淼?倍，h一定變小了，即上擺到最高點(diǎn)的高度下降了，所以振幅要改變，應(yīng)選D.

　　「錯解原因」 此題主要考查決定單擺頻率(周期)和振幅的是什么因素，而題中提供了兩個(gè)變化因素，即質(zhì)量和最大速度，到底頻率和振幅與這兩個(gè)因素有沒有關(guān)系。若有關(guān)系，有什么關(guān)系，是應(yīng)該弄清楚的。

　　而錯解二和錯解三中都認(rèn)為頻率不變，這是因?yàn)闉椴磺宄Q定單擺的因素是擺長l和當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭，而與擺球質(zhì)量及運(yùn)動到最低點(diǎn)的速度無關(guān)。

　　錯解二中關(guān)于頻率不變的判斷是正確的，錯誤出現(xiàn)在后半句的結(jié)論上。判斷只從能量不變?nèi)タ?，?dāng)E總不變時(shí)，EP=mgh，m變大了，h一定變小。說明有些同學(xué)考慮問題還是不夠全面。

　　「分析解答」 (1)實(shí)際上，通過實(shí)驗(yàn)我們已經(jīng)了解到，決定單

　　單擺的周期與質(zhì)量無關(guān)，與單擺的運(yùn)動速度也無關(guān)。當(dāng)然，頻率也與質(zhì)量和速度無關(guān)，所以不能選C，D.

　　(2)決定振幅的是外來因素。反映在單擺的運(yùn)動中，可以從能量去觀察，從上面分析我們知道，在平衡位置(即最低點(diǎn))時(shí)的動能EK

　　的重力勢能也不變。但是由于第二次擺的質(zhì)量增大了(實(shí)際上單擺已經(jīng)變成另一個(gè)擺動過程了)，勢能EP=mgh不變，m大了，h就一定變小了，也就是說，振幅減小了。因此正確答案應(yīng)選B.

　　「評析」 本題的分析解答提醒我們，一是考慮要全面，本題中m，v兩因素的變化對確定的單擺振動究竟會產(chǎn)生怎樣的影響，要進(jìn)行全面分析;二是分析問題要有充分的理論依據(jù)，如本題中決定單擺振動的頻率

　　例3 如圖6-1所示，光滑圓弧軌道的半徑為R，圓弧底部中點(diǎn)為O，兩個(gè)相同的小球分別在O正上方h處的A點(diǎn)和離O很近的軌道B點(diǎn)，現(xiàn)同時(shí)釋放兩球，使兩球正好在O點(diǎn)相碰。問h應(yīng)為多高?

　　「錯解」 對B球，可視為單擺，延用單擺周期公式可求B球到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間：

　　對A球，它做自由落體運(yùn)動，自h高度下落至O點(diǎn)

　　「錯解原因」 上述答案并沒有完全錯，分析過程中有一點(diǎn)沒有考慮，即是振動的周期性，因?yàn)锽球在圓形軌道上自B點(diǎn)釋放后可以做往

　　上述解答漏掉一些解，即上述解答只是多個(gè)解答中的一個(gè)。

　　對B球振動周期

　　到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間為

　　顯然，前面的解僅僅是當(dāng)n=0時(shí)的其中一解而已。

　　「評析」 在解決與振動有關(guān)的問題時(shí)，要充分考慮到振動的周期性，由于振動具有周期性，所以此類問題往往答案不是一個(gè)而是多個(gè)。

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　　例4 水平彈簧振子，每隔時(shí)間t，振子的位移總是大小和方向都相

　　「錯解」 1.首先排除A，認(rèn)為A是不可能的。理由是：水平彈簧振子的運(yùn)動軌跡可簡化為如圖6-2，O為平衡位置，假設(shè)計(jì)時(shí)開始時(shí)，振子位于A點(diǎn)，每隔時(shí)間t，振子的位移總是大小和方向都相同，所以t

　　B之間非A即B點(diǎn)，而這兩點(diǎn)距平衡位置都等于振幅，所以加速度都等

　　所以振子的動能總是相同的，所以選C是對的。

　　同的，都等于振幅，所以D是對的。

　　綜上所述，應(yīng)選B，C，D.

　　「錯解原因」 錯解1是排除A，之所以產(chǎn)生錯誤，是因?yàn)樵陬^腦中形成思維定勢，認(rèn)為在時(shí)間t內(nèi)，振子只能在一個(gè)周期內(nèi)振動。很多學(xué)生在解決振動和波的問題時(shí)，習(xí)慣上把所有問題都限定在一個(gè)周期內(nèi)，而沒有考慮到在時(shí)間t內(nèi)，振子可能已經(jīng)完成多個(gè)全振動了。

　　錯解2的產(chǎn)生主要是對加速度的矢量性認(rèn)識不夠或頭腦中根本就沒有這個(gè)概念，認(rèn)為位置對稱，加速度大小一樣就是加速度相同。

　　3.選擇C是對的。

　　4.對彈簧振子這樣一個(gè)物理模型認(rèn)識不全面，所謂水平彈簧振子的彈簧是哪段沒弄清楚。

　　「分析解答」 1.由題意可知，t=nt，n可以是1，2，3…，

　　選項(xiàng)A是正確的。

　　相反，且對稱于平衡位置，所以加速度的方向是相反的。

　　3.同錯解3.

　　4.水平彈簧振子的彈簧應(yīng)為如圖6-3a或6-3b的樣子。當(dāng)振子的位置在平衡位置兩側(cè)時(shí)，彈簧長度是不同的。所以選項(xiàng)D不對。

　　另外，符合題意條件的不一定非選最大位移處的兩點(diǎn)，也可以選其他的點(diǎn)分析，如圖6-4P，Q兩點(diǎn)，同樣可以得出正確結(jié)論。

　　所以此題的正確答案為A，C.

　　例7 一簡諧波的波源在坐標(biāo)原點(diǎn)o處，經(jīng)過一段時(shí)間振動從o點(diǎn)向右傳播20cm到Q點(diǎn)，如圖6-7所示，P點(diǎn)離開o點(diǎn)的距離為30cm，試判斷P質(zhì)點(diǎn)開始振動的方向。

　　傳到P點(diǎn)，所以畫出如圖6-8所示的波形圖。因?yàn)椴ㄔ丛谠c(diǎn)，波沿x軸正方向傳播，所以可判定，P點(diǎn)開始振動的方向是沿y軸正方向(即向上)。

　　「錯解原因」 主要原因是把機(jī)械波的圖象當(dāng)成機(jī)械振動的圖象看

　　面的波形也變化了。

　　「分析解答」 因?yàn)樵瓐D中的波形經(jīng)歷了半個(gè)周期的波形如圖6-9所示，在此波形基礎(chǔ)上，向前延長半個(gè)波形即為P點(diǎn)開始振動時(shí)的波形圖，因?yàn)椴ㄔ丛谠c(diǎn)處，所以介質(zhì)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都被其左側(cè)質(zhì)點(diǎn)帶動，所以P點(diǎn)在剛開始時(shí)的振動方向沿y軸負(fù)方向(即向下)從另外一個(gè)角度來看，原圖中Q點(diǎn)開始振動時(shí)是向下的，因?yàn)樗匈|(zhì)點(diǎn)開始振動時(shí)的情況均相同，所以P點(diǎn)開始振動的方向應(yīng)是向下的。

　　「評析」 本題中的錯解混淆了振動圖象與波的圖象，那么這兩個(gè)圖象有什么不同呢?(1)首先兩個(gè)圖象的坐標(biāo)軸所表示的物理意義不同：振動圖象的橫坐標(biāo)表示時(shí)間，而波動圖象的橫坐標(biāo)表示介質(zhì)中各振動質(zhì)點(diǎn)的平衡位置。(2)兩個(gè)圖象所描述的對象不同：振動圖象描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化情況，而波的圖象描述的是介質(zhì)中的一群質(zhì)點(diǎn)某一時(shí)刻各自振動所到達(dá)的位置情況。通俗地說：振動圖象相當(dāng)于是在一般時(shí)間內(nèi)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的“錄像”，而波的圖象則是某一時(shí)刻一群質(zhì)點(diǎn)振動的“照片”。(3)隨著時(shí)間的推移，振動圖象原來的形狀(即過去質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻所到達(dá)的位置不再發(fā)生變化，而波的圖象由于各質(zhì)點(diǎn)總在不斷地振動，因此隨著時(shí)間的推移，原有的圖象將發(fā)生周期性變化。

　　例8 圖6-10是某時(shí)刻一列橫波在空間傳播的波形圖線。已知波是沿x軸正方向傳播，波速為4m/s，試計(jì)算并畫出經(jīng)過此時(shí)之后1.25s的空間波形圖。

　　=62.5個(gè)波長，其波形如圖6-13.

　　「錯解原因」 錯解一、錯解二沒有重視單位的一致性，在此題中波長從圖中只能得出λ=8cm，而波速給出的卻是國際單位4m/s.因此，求周期時(shí)，應(yīng)先將波長的單位統(tǒng)一到國際單位制上來。

　　錯解三雖然計(jì)算對了，但是，在波向前(沿x軸正方向)傳播了62.5個(gè)波長時(shí)的波形，應(yīng)是在原來的波形基礎(chǔ)上向x正方擴(kuò)展62.5個(gè)波長。

　　播一個(gè)波長。經(jīng)過62.5個(gè)周期，波向前傳播了62.5個(gè)波長。據(jù)波的周期性，當(dāng)經(jīng)過振動周期的整數(shù)倍時(shí)，波只是向前傳播了整數(shù)倍個(gè)波長，而

　　形，如圖6-14.再將此圖向前擴(kuò)展62個(gè)波長即為題目要求，波形如圖6-15.

　　「評析」 波形圖反映了波在傳播過程中某時(shí)刻在波的傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移情況，由于波只能以有限的速度向前傳播，所以離振源遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)總要滯后一段時(shí)間，滯后的時(shí)間與傳播的距離成正比，即滯后一個(gè)周期。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的平衡位置距離就是一個(gè)波長，經(jīng)過多少個(gè)周期，波就向前傳播了多少個(gè)波長，而振源就做了多少次全振動，這就是此類問題的關(guān)鍵所在。

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　　例9 一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，從波傳到x=5m的M點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，已知P點(diǎn)相繼出現(xiàn)兩個(gè)波峰的時(shí)間間隔為0.4s，下面說法中正確的是 [ ]

　　A.這列波的波長是4m

　　B.這列波的傳播速度是10m/s

　　C.質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)經(jīng)過0.5s才第一次到達(dá)波峰

　　D.M點(diǎn)以后各質(zhì)點(diǎn)開始振動時(shí)的方向都是向下

　　「錯解」 錯解一：由題中說P點(diǎn)相繼出現(xiàn)兩個(gè)波峰的時(shí)間間隔為

　　錯解二：質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)，經(jīng)過0.4s(此處用了正確的周期結(jié)果

　　所以C對。

　　錯解三：M點(diǎn)以后各質(zhì)點(diǎn)的振動有的向上，有的向下，所以D不對。

　　「錯解原因」 錯解一對“相繼出現(xiàn)兩個(gè)波峰”理解有誤。

　　錯解二對質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)處，當(dāng)波傳到它以后，該點(diǎn)應(yīng)如何振動不會分析，實(shí)際上也就是對波的傳播原理不明白。不知道波的傳播是機(jī)械振動在介質(zhì)中傳遞的過程，質(zhì)點(diǎn)要依次被帶動形成波。

　　同理，錯解三對M點(diǎn)以后各點(diǎn)運(yùn)動情況分析有誤，實(shí)際上M點(diǎn)以后各點(diǎn)運(yùn)動情況向上還是向下取決于波的傳播方向。

　　「分析解答」 (1)從圖6-16上可以看出波長為4m，選A.

　　(2)實(shí)際上“相繼出現(xiàn)兩個(gè)波峰”應(yīng)理解為，出現(xiàn)第一波峰與出現(xiàn)第二個(gè)波峰之間的時(shí)間間隔。因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)完成一次全振動，而一次全振動應(yīng)表現(xiàn)為“相繼出現(xiàn)兩個(gè)波峰”，即T=0.4s.則v=

　　(3)質(zhì)點(diǎn)Q(x=9m)經(jīng)過0.4s開始振動，而波是沿x軸正方向傳播，即介質(zhì)中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都被它左側(cè)的質(zhì)點(diǎn)所帶動，從波向前傳播的波形圖6-17可以看出，0.4s波傳到Q時(shí)，其左側(cè)質(zhì)點(diǎn)在它下方，所以Q點(diǎn)在0.5s時(shí)處于波谷。再經(jīng)過0.2ss即總共經(jīng)過0.7s才第一次到達(dá)波峰，所以選項(xiàng)C錯了。

　　(4)從波的向前傳播原理可以知道，M以后的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都是先向下振動的。所以選項(xiàng)D是對的。

　　此題正確答案為A，B，D.

　　例10 如圖6-18所示，一根張緊的水平彈性長繩上的a，b兩點(diǎn)，相距14.0m，b點(diǎn)在a點(diǎn)的右方，當(dāng)一列簡諧橫波沿此長繩向右傳播時(shí)，若a點(diǎn)的位移達(dá)到正最大時(shí)，b點(diǎn)的位移恰為零且向下運(yùn)動。經(jīng)過1.00s后a點(diǎn)的位移為零，且向下運(yùn)動，而b點(diǎn)的位移恰達(dá)到負(fù)最大，則這簡諧波的波速可能等于 [ ]

　　A.4.67m/s B.6m/s

　　C.10m/s D.4m/s

　　v=4.67m/s選擇A.

　　但此題可能多選，考慮到a，b之間滿足條件的情況還可

　　解得：v=10m/s 選擇C

　　解得：v=11.5m/s顯然不符合題目中的選項(xiàng)，且通過分析可知v=14m/s也是不對的，所以正確答案為A，C.

　　「錯解原因」以上答案并沒有錯，但分析問題的過程出現(xiàn)了明顯的

　　漏了不少結(jié)論。而此題做為選擇題，學(xué)生能用錯誤的思維方式得出符合答案的結(jié)果，純屬偶然。

　　波長λ有一系列數(shù)據(jù)，周期T也有一系列數(shù)據(jù)，從波的概念出發(fā)，兩者并無一一對應(yīng)，因而波速應(yīng)為

　　其解為當(dāng)n=0，N=0，1，2……

　　n=1，N=0，1，2……

　　n=2，N=0，1，2……

　　我們可以通過列表來看一看波速的各種可能值：

N	n
	0	1	2	3	…
0	4.67	2	1.27	0.933
1	23.3	10	6.36	4.67
2	42	18	11.5	8.4
3	60.7	26	16.6	12.1
…	…	…	…	…	…

　　從表中可以看出，4.67m/s及10m/s即為正確答案。所以正確答案應(yīng)選A，C.

　　「評析」這是1996年一道高考題，當(dāng)年不少考生考試時(shí)也選對了答案，但這些考生思考問題時(shí)有著明顯的片面性，只從n=N的情況去考慮問題，當(dāng)n=N=0時(shí)，4.67m/s，當(dāng)n=N=1時(shí)，v=10m/s，當(dāng)n=N=2時(shí)v=11.5m/s……，把長度的周期性與時(shí)間的周期性混為一談。若此題的四個(gè)選項(xiàng)中變化一個(gè)為v=2m/s(即n=1，N=0時(shí))，上述思維片面的考生可能就會漏選，因此，一定要對題目進(jìn)行全面周到的分析。

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（責(zé)任編輯：中大編輯）