第二章 牛頓定律

　　一、主要內容

　　本章內容包括力的概念及其計算方法，重力、彈力、摩擦力的概念及其計算，牛頓運動定律，物體的平衡，失重和超重等概念和規(guī)律。其中重點內容重力、彈力和摩擦力在牛頓第二定律中的應用，這其中要求學生要能夠建立起正確的“運動和力的關系”。因此，深刻理解牛頓第一定律，則是本章中運用牛頓第二定律解決具體的物理問題的基礎。

　　二、基本方法

　　本章中所涉及到的基本方法有：力的分解與合成的平行四邊形法則，這是所有矢量進行加、減法運算過程的通用法則;運用牛頓第二定律解決具體實際問題時，常需要將某一個物體從眾多其他物體中隔離出來進行受力分析的“隔離法”，隔離法是分析物體受力情況的基礎，而對物體的受力情況進行分析又是應用牛頓第二定律的基礎。因此，這種從復雜的對象中隔離出某一孤立的物體進行研究的方法，在本章中便顯得十分重要。

　　三、錯解分析

　　在本章知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：對物體受力情況不能進行正確的分析，其原因通常出現(xiàn)在對彈力和摩擦力的分析與計算方面，特別是對摩擦力(尤其是對靜摩擦力)的分析;對運動和力的關系不能準確地把握，如在運用牛頓第二定律和運動學公式解決問題時，常表現(xiàn)出用矢量公式計算時出現(xiàn)正、負號的錯誤，其本質原因就是對運動和力的關系沒能正確掌握，誤以為物體受到什么方向的合外力，則物體就向那個方向運動。

　　例1 甲、乙兩人手拉手玩拔河游戲，結果甲勝乙敗，那么甲乙兩人誰受拉力大?

　　「錯解」因為甲勝乙，所以甲對乙的拉力比乙對甲的拉力大。就像拔河一樣，甲方勝一定是甲方對乙方的拉力大。

　　「錯解原因」產(chǎn)生上述錯解原因是學生憑主觀想像，而不是按物理規(guī)律分析問題。按照物理規(guī)律我們知道物體的運動狀態(tài)不是由哪一個力決定的而是由合外力決定的。甲勝乙是因為甲受合外力對甲作用的結果。甲、乙兩人之間的拉力根據(jù)牛頓第三定律是相互作用力，甲、乙二人拉力一樣大。

　　「分析解答」甲、乙兩人相互之間的拉力是相互作用力，根據(jù)牛頓第三定律，大小相等，方向相反，作用在甲、乙兩人身上。

　　「評析」生活中有一些感覺不總是正確的，不能把生活中的經(jīng)驗，感覺當成規(guī)律來用，要運用物理規(guī)律來解決問題。

　　例2 如圖2-1所示，一木塊放在水平桌面上，在水平方向上共受三個力，F(xiàn)1，F(xiàn)2和摩擦力，處于靜止狀態(tài)。其中F1=10N，F(xiàn)2=2N.若撤去力F1則木塊在水平方向受到的合外力為( )

　　A.10N向左 B.6N向右 C.2N向左 D.0

　　「錯解」木塊在三個力作用下保持靜止。當撤去F1后，另外兩個力的合力與撤去力大小相等，方向相反。故A正確。

　　「錯解原因」造成上述錯解的原因是不加分析生搬硬套運用“物體在幾個力作用下處于平衡狀態(tài)，如果某時刻去掉一個力，則其他幾個力的合力大小等于去掉這個力的大小，方向與這個力的方向相反”的結論的結果。實際上這個規(guī)律成立要有一個前提條件，就是去掉其中一個力，而其他力不變。本題中去掉F1后，由于摩擦力發(fā)生變化，所以結論不成立。

　　「分析解答」由于木塊原來處于靜止狀態(tài)，所以所受摩擦力為靜摩擦力。依據(jù)牛二定律有F1-F2-f=0此時靜摩擦力為8N方向向左。撤去F1后，木塊水平方向受到向左2N的力，有向左的運動趨勢，由于F2小于最大靜摩擦力，所以所受摩擦力仍為靜摩擦力。此時—F2+f′=0即合力為零。故D選項正確。

　　「評析」摩擦力問題主要應用在分析物體運動趨勢和相對運動的情況，所謂運動趨勢，一般被解釋為物體要動還未動這樣的狀態(tài)。沒動是因為有靜摩擦力存在，阻礙相對運動產(chǎn)生，使物體間的相對運動表現(xiàn)為一種趨勢。由此可以確定運動趨勢的方向的方法是假設靜摩擦力不存在，判斷物體沿哪個方向產(chǎn)生相對運動，該相對運動方向就是運動趨勢的方向。如果去掉靜摩擦力無相對運動，也就無相對運動趨勢，靜摩擦力就不存在。

　　例3 如圖2-2所示水平放置的粗糙的長木板上放置一個物體m，當用于緩慢抬起一端時，木板受到的壓力和摩擦力將怎樣變化?

　　「錯解」以木板上的物體為研究對象。物體受重力、摩擦力、支持力。因為物體靜止，則根據(jù)牛頓第二定律有

　　錯解一：據(jù)式②知道θ增加，f增加。

　　錯解二：另有錯解認為據(jù)式②知θ增加，N減小則f=μN說明f減少。

　　「錯解原因」錯解一和錯解二都沒能把木板緩慢抬起的全過程認識透。只抓住一個側面，缺乏對物理情景的分析。若能從木塊相對木板靜止入手，分析出再抬高會相對滑動，就會避免錯解一的錯誤。若想到f=μN是滑動摩擦力的判據(jù)，就應考慮滑動之前怎樣，也就會避免錯解二。

　　「分析解答」以物體為研究對象，如圖2-3物體受重力、摩擦力、支持力。物體在緩慢抬起過程中先靜止后滑動。靜止時可以依據(jù)錯解一中的解法，可知θ增加，靜摩擦力增加。當物體在斜面上滑動時，可以同錯解二中的方法，據(jù)f=μN，分析N的變化，知f滑的變化。θ增加，滑動摩擦力減小。在整個緩慢抬起過程中y方向的方程關系不變。依據(jù)錯解中式②知壓力一直減小。所以抬起木板的過程中，摩擦力的變化是先增加后減小。壓力一直減小。

　　「評析」物理問題中有一些變化過程，不是單調變化的。在平衡問題中可算是一類問題，這類問題應抓住研究變量與不變量的關系。可從受力分析入手，列平衡方程找關系，也可以利用圖解，用矢量三角形法則解決問題。如此題物體在未滑動時，處于平衡狀態(tài)，加速度為零。所受三個力圍成一閉合三角形。如圖2-4.類似問題如圖2-5用繩將球掛在光滑的墻面上，繩子變短時，繩的拉力和球對墻的壓力將如何變化。從對應的矢量三角形圖2-6不難看出，當繩子變短時，θ角增大，N增大，T變大。圖2-7在AC繩上懸掛一重物G，在AC繩的中部O點系一繩BO，以水平力F牽動繩BO，保持AO方向不變，使BO繩沿虛線所示方向緩緩向上移動。在這過程中，力F和AO繩上的拉力變化情況怎樣?用矢量三角形(如圖2-8)可以看出T變小，F(xiàn)先變小后變大。這類題的特點是三個共點力平衡，通常其中一個力大小、方向均不變，另一個力方向不變，大小變，第三個力大小、方向均改變。還有時是一個力大小、方向不變，另一個力大小不變，方向變，第三個力大小、方向都改變。

　　例4 如圖2-9物體靜止在斜面上，現(xiàn)用水平外力F推物體，在外力F由零逐漸增加的過程中，物體始終保持靜止，物體所受摩擦力怎樣變化?

　　「錯解」錯解一：以斜面上的物體為研究對象，物體受力如圖2-10，物體受重力mg，推力F，支持力N，靜摩擦力f，由于推力F水平向右，所以物體有向上運動的趨勢，摩擦力f的方向沿斜面向下。根據(jù)牛頓第二定律列方程

　　f+mgsinθ=Fcosθ ①

　　N-Fsinθ-mgcosθ=0 ②

　　由式①可知，F(xiàn)增加f也增加。所以在變化過程中摩擦力是增加的。

　　錯解二：有一些同學認為摩擦力的方向沿斜面向上，則有F增加摩擦力減少。

　　「錯解原因」上述錯解的原因是對靜摩擦力認識不清，因此不能分析出在外力變化過程中摩擦力的變化。

　　「分析解答」本題的關鍵在確定摩擦力方向。由于外力的變化物體在斜面上的運動趨勢有所變化，如圖2-10，當外力較小時(Fcosθmgsinθ)物體有向上的運動趨勢，摩擦力的方向沿斜面向下，外力增加，摩擦力增加。當Fcosθ=mgsinθ時，摩擦力為零。所以在外力由零逐漸增加的過程中，摩擦力的變化是先減小后增加。

　　「評析」若斜面上物體沿斜面下滑，質量為m，物體與斜面間的摩擦因數(shù)為μ，我們可以考慮兩個問題鞏固前面的分析方法。

　　(1) F為怎樣的值時，物體會保持靜止。

　　(2)F為怎樣的值時，物體從靜止開始沿斜面以加速度a運動。

　　受前面問題的啟發(fā)，我們可以想到F的值應是一個范圍。

　　首先以物體為研究對象，當F較小時，如圖2-10物體受重力mg、支持力N、斜向上的摩擦力f和F.物體剛好靜止時，應是F的邊界值，此時的摩擦力為最大靜摩擦力，可近似看成f靜=μN(最大靜摩擦力)如圖建立坐標，據(jù)牛頓第二定律列方程

　　當F從此值開始增加時，靜摩擦力方向開始仍然斜向上，但大小減小，當F增加到FCOSθ=mgsinθ時，即F=mg.tgθ時，F(xiàn)再增加，摩擦力方向改為斜向下，仍可以根據(jù)受力分析圖2-11列出方程

　　隨著F增加，靜摩擦力增加，F(xiàn)最大值對應斜向下的最大靜摩擦力。

　　要使物體靜止F的值應為

　　關于第二個問題提醒讀者注意題中并未提出以加速度a向上還是向下運動，應考慮兩解，此處不詳解此，給出答案供參考。

　　例5 如圖2-12，m和M保持相對靜止，一起沿傾角為θ的光滑斜面下滑，則M和m間的摩擦力大小是多少?

　　「錯解」以m為研究對象，如圖2-13物體受重力mg、支持力N、摩擦力f，如圖建立坐標有

　　再以m+N為研究對象分析受力，如圖2-14，(m+M)g.sinθ=(M+m)a③

　　據(jù)式①，②，③解得f=0

　　所以m與M間無摩擦力。

　　「錯解原因」造成錯解主要是沒有好的解題習慣，只是盲目的模仿，似乎解題步驟不少，但思維沒有跟上。要分析摩擦力就要找接觸面，摩擦力方向一定與接觸面相切，這一步是堵住錯誤的起點。犯以上錯誤的客觀原因是思維定勢，一見斜面摩擦力就沿斜面方向。歸結還是對物理過程分析不清。

　　「分析解答」因為m和M保持相對靜止，所以可以將(m+M)整體視為研究對象。受力，如圖2-14，受重力(M十m)g、支持力N′如圖建立坐標，根據(jù)牛頓第二定律列方程

　　x：(M+n)gsinθ=(M+m)a ①

　　解得a=gsinθ

　　沿斜面向下。因為要求m和M間的相互作用力，再以m為研究對象，受力如圖2-15.

　　根據(jù)牛頓第二定律列方程

　　因為m，M的加速度是沿斜面方向。需將其分解為水平方向和豎直方向如圖2-16.

　　由式②，③，④，⑤解得f=mgsinθ。cosθ

　　方向沿水平方向m受向左的摩擦力，M受向右的摩擦力。

　　「評析」 此題可以視為連接件問題。連接件問題對在解題過程中選取研究對象很重要。有時以整體為研究對象，有時以單個物體為研究對象。整體作為研究對象可以將不知道的相互作用力去掉，單個物體作研究對象主要解決相互作用力。單個物體的選取應以它接觸的物體最少為最好。如m只和M接觸，而M和m還和斜面接觸。

　　另外需指出的是，在應用牛頓第二定律解題時，有時需要分解力，有時需要分解加速度，具體情況分析，不要形成只分解力的認識。

　　例6 如圖2-17物體A疊放在物體B上，B置于光滑水平面上。A，B質量分別為mA=6kg，mB=2kg，A，B之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，開始時F=10N，此后逐漸增加，在增大到45N的過程中，則

　　[ ]

　　A.當拉力F<12N時，兩物體均保持靜止狀態(tài)

　　B.兩物體開始沒有相對運動，當拉力超過12N時，開始相對滑動

　　C.兩物體間從受力開始就有相對運動

　　D.兩物體間始終沒有相對運動

　　「錯解」 因為靜摩擦力的最大值近似等于滑動摩擦力。fmax=μN=0.2×6=12(N)。所以當F>12N時，A物體就相對B物體運動。F<12N時，A相對B不運動。所以A，B選項正確。

　　「錯解分析」 產(chǎn)生上述錯誤的原因一致是對A選項的理解不正確，A中說兩物體均保持靜止狀態(tài)，是以地為參考物，顯然當有力F作用在A物體上，A，B兩物體對地來說是運動的。二是受物體在地面上運動情況的影響，而實際中物體在不固定物體上運動的情況是不同的。

　　「分析解答」 首先以A，B整體為研究對象。受力如圖2-18，在水平方向只受拉力F，根據(jù)牛頓第二定律列方程

　　F=(mA+mB)a ①

　　再以B為研究對象，如圖2-19，B水平方向受摩擦力

　　f=mBa ②

　　代入式①F=(6+2)×6=48N

　　由此可以看出當F<48N時A，B間的摩擦力都達不到最大靜摩擦力，也就是說，A，B間不會發(fā)生相對運動。所以D選項正確。

　　「評析」 物理解題中必須非常嚴密，一點的疏忽都會導致錯誤。避免錯誤發(fā)生的最好方法就是按規(guī)范解題。每一步都要有依據(jù)。

　　例7 如圖2-20，用繩AC和 BC吊起一重物，繩與豎直方向夾角分別為30°和60°，AC繩能承受的最大的拉力為150N，而BC繩能承受的最大的拉力為100N，求物體最大重力不能超過多少?

　　「錯解」以重物為研究對象，重物受力如圖2-21.由于重物靜止，則有

　　TACsin30°=TBCsin60°

　　TACcos30°+TBCcos60°=G

　　將TAC=150N，TBC=100N代入式解得G=200N.

　　「錯解原因」以上錯解的原因是學生錯誤地認為當TAC=150N時，TBC=100N，而沒有認真分析力之間的關系。實際當TBC=100N時，TBC已經(jīng)超過150N.

　　「分析解答」以重物為研究對象。重物受力如圖2-21，重物靜止，加速度為零。據(jù)牛頓第二定律列方程

　　TACsin30°-TBCsin60°=0 ①

　　TACcos30°+TBCcos60°-G=0 ②

　　而當TAC=150N時，TBC=86.6<100N

　　將TAC=150N，TBC=86.6N代入式②解得G=173.32N.

　　所以重物的最大重力不能超過173.2N.

　　例8 如圖2-22質量為M，傾角為α的楔形物A放在水平地面上。質量為m的B物體從楔形物的光滑斜面上由靜止釋放，在B物體加速下滑過程中，A物體保持靜止。地面受到的壓力多大?

　　「錯解」以A，B整體為研究對象。受力如圖2-23，因為A物體靜止，所以N=G=(M+m)g.

　　「錯解原因」由于A，B的加速度不同，所以不能將二者視為同一物體。忽視了這一點就會造成錯解。

　　「分析解答」分別以A，B物體為研究對象。A，B物體受力分別如圖2-24a，2-24b.根據(jù)牛頓第二定律列運動方程，A物體靜止，加速度為零。

　　x：Nlsinα-f=0 ①

　　y：N-Mg-Nlcosα=0 ②

　　B物體下滑的加速度為a，

　　x：mgsinα=ma ③

　　y：Nl-mgcosα=0 ④

　　由式①，②，③，④解得N=Mg+mgcosα

　　根據(jù)牛頓第三定律地面受到的壓力為Mg十mgcosα。

　　「評析」 在解決物體運動問題時，在選取研究對象時，若要將幾個物體視為一個整體做為研究對象，應該注意這幾個物體必須有相同的加速度。

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