2016高考數(shù)學(xué)專項練習(xí):平面向量、復(fù)數(shù)

A組

一、選擇題

1.若復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是純虛數(shù)，其中m是實數(shù)，i2=-1，則等于(　　)

A.　1　 　B.-　1　　C.　2 　　D.-2

答案：D　解題思路：因為復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是純虛數(shù)，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，則==-.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=-i·sin θ，其中i為虛數(shù)單位，θR，則|z|的取值范圍是(　　)

A.[1，3 ] B.[-1，3]

C.[1， 2] D.[1，4 ]

答案：D　命題立意：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及三角最值的求解，難度中等.

解題思路：據(jù)已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，當(dāng)sin θ=-1,1時分別取得最小值與最大值.

3.(呼和浩特第一次統(tǒng)考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，則|2a+3b|等于(　　)

A. B.4 C.3 D.2

答案：B　命題立意：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度中等.

解題思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.

4.已知向量a，b是夾角為60°的兩個單位向量，向量a+λb(λR)與向量a-2b垂直，則實數(shù)λ的值為(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.0

答案：D　命題立意：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.

解題思路：由題意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，從而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.

5.已知A，B是單位圓上的動點，且|AB|=，單位圓的圓心為O，則·=(　　)

A.- B.

C.- D.

答案：C　命題立意：本題以單位圓為依托，考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本定理.

解題思路：由題意知，單位圓的弦AB所對的圓心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故選C.

6.定義一種運(yùn)算如下：=x1y2-x2y1，復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是(　　)

A.-1+(-1)i B.-1-(-1)i

C.+1+(+1)i D.+1-(+1)i

答案：B　命題立意：考查對新概念的理解及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度中等.

解題思路：由題意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i， 共軛復(fù)數(shù)是-1-(-1)i，故選B.

易錯點撥：注意分析新定義的運(yùn)算規(guī)則中字母的順序.

7.在直角坐標(biāo)系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夾角平分線上的一點，且||=2，則的坐標(biāo)是(　　)

A. B.(-，)

C. D.(-，1)

答案：A　命題立意：本題考查向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算，正確地表示出的線性表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.

解題思路：因為=(-6，-4)，=(-2,3)，由點P是角平分線上的一點，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故選A.

8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P為矩形內(nèi)一點，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，則λ+μ的最大值為(　　)

A. B.

C. D.

答案：B　命題立意：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.

解題思路：據(jù)已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理變形得(λ+μ)2-2λμ=，據(jù)均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故選B.

9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，點P為邊BC所在直線上的一個動點，則關(guān)于·(+)的值，正確的是(　　)

A.最大值為4 B.為定值2

C.最小值為1 D.與P的位置有關(guān)

答案：B　命題立意：本題考查向量的運(yùn)算，難度中等.

解題思路：利用向量的運(yùn)算法則求解.取BC的中點D，連接AD，則·(+)=2·=2||2=2，故選B.

舉一反三：平面幾何圖形中的向量問題要充分應(yīng)用圖象的幾何特征，一般解法有建系法和基底法兩種.

10.對于單位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的(　　)

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件

答案：B　命題立意：本題考查了平面向量的概念及坐標(biāo)運(yùn)算公式、充要條件的判斷問題，屬推理與分析能力考查題型，難度較大.

解題思路： a1，a2均為單位向量，若a1+a2=(，1)，則a1=a2=，反之，若a1=，則a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分條件，故選B.

易錯點撥：充要條件的判斷需要通過命題的正反角度分別推理，正確判斷兩個命題的真假方可得出正確的結(jié)論.

二、填空題

11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b為非零向量，若a(a+b)，則k=________.

答案：0　命題立意：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積，難度中等.

解題思路：依題意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.

12.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=4，點E為BC的中點，點F在邊CD上.若·=2，則·的值是________.

答案：6　命題立意：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算能力.

解題思路：以B為坐標(biāo)原點，BC，BA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由題意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，設(shè)F(4，m)，其中0≤m≤2，則=(0，-2)，=(4，m-2).

·=2，

-2(m-2)=2， m=1，

F(4,1)，=(4,1).

又 =(2，-2)， ·=8-2=6.

13.在ABC中，B=60°，O為ABC的外心，P為劣弧AC上一動點，且=x+y(x，yR)，則x+y的取值范圍為________.

答案：[1,2]　命題立意：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.

解題思路：據(jù)已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P為劣弧AC上一動點知x≥0且y≥0(等號不能同時取得)，從而x+y≥1(x，y中恰有一個為0時取等號).又據(jù)均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0

14.設(shè)G為ABC的重心，若ABC所在平面內(nèi)一點P滿足+2+2=0，則的值等于________.

答案：2　命題立意：本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合思想，難度中等.

解題思路：取BC的中點D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，說明P，A，D三點共線，即點P在BC邊的中線上，且||=4||，如圖所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.

15.(東北四市二次聯(lián)考)對于命題：

若O是線段AB上一點，則有||·+||·=0.

將它類比到平面的情形是：

若O是ABC內(nèi)一點，則有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.

將它類比到空間的情況應(yīng)該是：

若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有_________________________.

答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0

命題立意：本題考查了類比推理及推理證明問題，從平面到空間的類比推理是新課標(biāo)高考中常見的類比推理題型的命題方式.

解題思路：由線段到平面，線段的長類比為面積，由平面到空間，面積可類比為體積，由此可以類比得一命題為，若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.

（責(zé)任編輯：昆凌）