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剛體的分類(lèi)

平動(dòng)

任意剛體兩點(diǎn)連線(xiàn)保持方向不變，各點(diǎn)的位移，速度，加速度相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。

如果剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸永遠(yuǎn)相互平行，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平動(dòng)。此時(shí)剛體上所有質(zhì)點(diǎn)，都有相同的加速度。故剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可以代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，所以剛體平動(dòng)時(shí)和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)完全一樣，其自由度為3，可取c點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)xyz為廣義坐標(biāo)，平動(dòng)并不一定是直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如圖所示的鋼體就是一種平動(dòng)，這里每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)但圖4.1(a)所示的鋼體運(yùn)動(dòng)就不再是一種平動(dòng)，這里每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)。但圖4.1(b)所示的剛體運(yùn)動(dòng)就不在是平動(dòng)，因?yàn)樵谶@種運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，固定在剛體上的坐標(biāo)軸并非始終保持和oxyz 的軸平行。

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體上每點(diǎn)繞同一軸線(xiàn)做圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及轉(zhuǎn)動(dòng)方向保持不變。

如果剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，至少有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)保持不動(dòng)，那么將這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn)取為兩個(gè)坐標(biāo)系的一個(gè)公共坐標(biāo)軸(z)軸，則剛體上各點(diǎn)都饒此軸作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體再任一時(shí)刻的位置可用ox軸相對(duì)于ox.轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ來(lái)確定，如圖4.2所示，其自由度為1，φ就是廣義坐標(biāo)。

平面平行運(yùn)動(dòng)

剛體的質(zhì)心被限制在同一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過(guò)質(zhì)心。

如果剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，剛體中任意一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為平面平行運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)平面運(yùn)動(dòng)，此時(shí)只須研究剛體中任一和固定平面平行的截面運(yùn)動(dòng)就夠了。

定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng)。

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。我們可取這個(gè)固定點(diǎn)為上述兩個(gè)坐標(biāo)系的公共原點(diǎn)，坐標(biāo)軸之間的夾角則可以任一改變。可以證明，在這種情況下，剛體從一個(gè)初位置運(yùn)動(dòng)到任意一個(gè)新位置時(shí)，恒可通過(guò)三個(gè)獨(dú)立的角坐標(biāo)來(lái)表示。設(shè)t=0時(shí)，坐標(biāo)系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4(a);在時(shí)刻t，坐標(biāo)系oxyz運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新位置，如圖4.4(d)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)可以看作三個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)動(dòng)合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度φ，使ox軸達(dá)到圖4.4(d)中oxy平面和ox.y.平面的交線(xiàn)on的位置，變?yōu)閛x'y'z'如圖4.4(b)。交線(xiàn)on稱(chēng)為節(jié)線(xiàn)。其次，使oy'z'平面繞節(jié)線(xiàn)on轉(zhuǎn)過(guò)角度θ，使坐標(biāo)軸達(dá)到新位置ox“y”z“，使oz”軸和圖4.4(d)中oz軸位置重合。最后，令ox“y”平面繞oz“軸轉(zhuǎn)過(guò)角度φ，使坐標(biāo)軸達(dá)到圖4.4(d)中的最終位置。

上述φθ三個(gè)角坐標(biāo)稱(chēng)為歐拉角，φ稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)角，θ稱(chēng)為章動(dòng)角，?稱(chēng)為自轉(zhuǎn)角，這三個(gè)角度的變化范圍為：

0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

從上面的討論可知，作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體在空間的任一位置可有三個(gè)歐拉角唯一確定，所以三個(gè)歐拉角就是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。 　但是這種描述方法不是唯一的。例如我們也可以把剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)看成是轉(zhuǎn)動(dòng)軸oz方向可以任意變化的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。要確定oz軸的方向，可用球坐標(biāo)的余緯角θ和經(jīng)度角φ來(lái)表示，在加上繞軸oz的轉(zhuǎn)角ψ，它們同樣可以唯一的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標(biāo)，這三個(gè)角坐標(biāo)和三個(gè)歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。

一般運(yùn)動(dòng)

平面運(yùn)動(dòng)與一般轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合。

剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒可以分解為平動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。平動(dòng)部分可用c點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)x.y.z.描述，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)部分可以用三個(gè)歐拉角φθψ描述。這6個(gè)坐標(biāo)就是剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的廣義坐標(biāo)。

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