二、單利與復(fù)利

利息的計(jì)算分單利與復(fù)利

(一)單利：

是不論借款期限的長(zhǎng)短，僅按本金計(jì)算利息，上期本金所產(chǎn)生的利息不記入下期計(jì)算利息，即利息不重復(fù)計(jì)算利息的計(jì)息方法。其本利和是：

S=P(1+r·n)

其中，S為本利和，P為本金，r為利率，n為存期;我國(guó)銀行存款的利息是按單利計(jì)算。

I=P·r·n 利息額與本金、利率、時(shí)間呈線性關(guān)系

例：P=100，r=6%(年利率)，n=1、2、3(年)……

則：I1=100·6%·1

I2=100·6%·2=12

I3=100·6%·3=18……

【例1·單選題】(2011年真題)

投資者用100萬(wàn)元進(jìn)行為期5年的投資，年利率為5%，一年計(jì)息一次，按單利計(jì)算，則5年末投資者可得到的本息和為(　)萬(wàn)元。

A.110

B.120

C.125

D.135

【正確答案】C

【答案解析】本題考查單利計(jì)算本息和。100×(1+5%×5)=125萬(wàn)元。

(二)復(fù)利：

也稱利滾利，就是將上期利息并入本金并一并計(jì)算利息的一種方法。

1.一年付息一次(一年復(fù)利一次)

其本利和是：

S=P(1+r)n

其中，S為本利和，P表示本金，r表示利率，n表示時(shí)間。

I=S-P=P(1+r)n-P=P[(1+r)n-1]

例：P=100，r=6%(年利率)，n=1、2、3(年)……

I1=S1-P1=100(1+6%)-100=6

I2=S2-P2=100(1+6%)2-100=12.36>12

I3=S3-P3=100(1+6%)3-100=19.10>18……

I為利息額。利息額與利率、時(shí)間呈非線性關(guān)系(只與本金呈線性關(guān)系)

期值：在未來(lái)某一時(shí)點(diǎn)上的本利和，也稱為“終值”。其計(jì)算式就是復(fù)利本利和的計(jì)算式。

單利終值：S=P(1+r·n)

復(fù)利終值：S=P(1+r)n

2.一年付息多次(一年復(fù)利多次)

例：假設(shè)100元的存款以6%的年利率每半年支付一次利息，也就是說(shuō)6個(gè)月的收益是6%的一半，即3%。

6個(gè)月末的終值為：FV=100×(1+0.06/2)=103

年末的期值為：100×(1+0.06/2)×(1+0.06/2)=100×(1+0.06/2)2=106.09

說(shuō)明：第二期比第一期的終值多0.09元，是因?yàn)閷?duì)第一期的3元的利息也計(jì)息的結(jié)果。如果一年中復(fù)利計(jì)算的次數(shù)增加的話，年末終值會(huì)越來(lái)越大。

例：上例如果一季計(jì)息一次，則年末終值為：100×(1+0.06/4)4=106.14

如果一個(gè)月計(jì)息一次，則年末終值為：100×(1+0.06/12)12=106.17

【例2·單選題】某人在銀行存入10萬(wàn)元，期限2年，年利率為6%，每半年支付一次利息，如果按復(fù)利計(jì)算，2年后的本利和是(　)萬(wàn)元。

A.11.20

B.11.26

C.10.26

D.10.23

【正確答案】B

【答案解析】本題考查年末期值計(jì)算公式FVn=P(1+r/m)nm。年利率是6%，每半年支付一次利息，那么2年的本利和就是10×(1+6%/2)4=11.26萬(wàn)元。

(三)連續(xù)復(fù)利

表2-1　不同時(shí)間連續(xù)復(fù)利的期值

計(jì)息次數(shù)mFV

一年一次1106.00000

半年一次2106.09000

一季度一次4106.13614

一月一次12106.16778

一天一次365106.18313

連續(xù)計(jì)息∞106.18365

期值變化規(guī)律：(1)每年計(jì)息次數(shù)越多，終值越大

(2)隨計(jì)息間隔的縮短(計(jì)息次數(shù)的增加)，終值以遞減速度增加，最后等于連續(xù)復(fù)利的終值。

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