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第二十四章 數(shù)據(jù)特征在測(cè)度
一、集中趨勢(shì)的測(cè)度
集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向,測(cè)度集中趨勢(shì)也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。集中趨勢(shì)的測(cè)度,主要包括位置平均數(shù)和數(shù)值平均數(shù)。位置平均數(shù)是指按數(shù)據(jù)的大小順序或出現(xiàn)頻數(shù)的多少,確定的集中趨勢(shì)的代表值,主要有眾數(shù)、中位數(shù)等;數(shù)值平均數(shù)是指根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的平均數(shù),主要有算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)等。
(一)眾數(shù)
眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值,用M0表示。例如,一家連鎖超市的10個(gè)分店某月的銷售額(單位:萬(wàn)元)分別為:
61 65 73 78 80 80 80 80 96 97
這l0個(gè)分店月銷售額的眾數(shù)為M0=80(萬(wàn)元)
用眾數(shù)反映集中趨勢(shì),非常直觀,不僅適用手品質(zhì)數(shù)據(jù),也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。眾數(shù)是一個(gè)位置代表值,不受極端值的影響,抗干擾性強(qiáng)。所謂極端值就是明顯比其他數(shù)據(jù)大得多或小得多的數(shù)值。
(二)中位數(shù)
把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序進(jìn)行排列,位置居中的數(shù)值叫做中位數(shù),用Me表示。中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成兩部分,其中一半的數(shù)據(jù)小于中位數(shù),另一半數(shù)據(jù)大于中位數(shù)。這里只簡(jiǎn)單介紹一下根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)的方法。
根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí),要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,然后確定中位數(shù)的位置,其公式為:
中位數(shù)位置= (n+1)/2
式中,n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。最后確定中位數(shù)的具體數(shù)值。
設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1,X2,…,Xn,按從小到大順序?yàn)閄(1),X(2),…,X(n),則中位數(shù)為:
例如,某地級(jí)市下轄9個(gè)縣,每個(gè)縣的面積如下(單位:平方千米),計(jì)算該市下轄縣面積的中位數(shù):
1455 2019 912 1016 1352 1031 2128 1075 2000
首先,將上面的數(shù)據(jù)排序結(jié)果如下:
912 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128
中位數(shù)位置=(9+1)÷2=5,中位數(shù)為1352,即Me =1352(平方千米)
在上例中,由于行政區(qū)劃調(diào)整,臨市的一個(gè)面積為1000平方千米的縣劃歸該市。行政區(qū)劃調(diào)整后,該市現(xiàn)在下轄10個(gè)縣,該市下轄縣的面積(單位:平方千米)從小到大依次為:
912 1000 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128
計(jì)算行政區(qū)劃調(diào)整后該市下轄縣面積的中位數(shù):
中位數(shù)位置=(10+1) ÷2=5.5,中位數(shù)為1213.5,即
Me= (1075+1352)÷2=1213.5(平方千米)
中位數(shù)主要用于順序數(shù)據(jù),也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù),但不適用于分類數(shù)據(jù)。中位數(shù)也是一個(gè)位置代表值,不受極端值的影響,抗干擾性強(qiáng)。
(三)算術(shù)平均數(shù)
算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均,又稱均值,用 表示。算術(shù)平均數(shù)是集中趨勢(shì)最主要的測(cè)度值,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的地位,是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù),但不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)數(shù)據(jù)表述形式的不同,算術(shù)平均數(shù)有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式。
1.簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)主要用于處理未分組的原始數(shù)據(jù)。設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1,X2,…,Xn,簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為:
例如,某售貨小組有5名營(yíng)業(yè)員,元旦一天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元和500元,求該日平均銷售額。
計(jì)算結(jié)果表明,元旦5名營(yíng)業(yè)員的平均銷售額為570元。
2.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于處理經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)。設(shè)原始數(shù)據(jù)被分成k組,各組的組中值為X1,X2,…,Xn,各組的頻數(shù)分別為f1,f2,…,fk,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為:
例如,某市商業(yè)企業(yè)協(xié)會(huì)根據(jù)100個(gè)會(huì)員樣本,整理出一年銷售額分布資料:
計(jì)算年平均銷售額。
首先確定組中值,計(jì)算結(jié)果在表24—1中列出。代入公式得:
計(jì)算結(jié)果表明,100個(gè)商業(yè)企業(yè)的年均銷售額為240萬(wàn)元。
計(jì)算和運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)需注意:第一,算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受到兩個(gè)因素的影響,一個(gè)是各組數(shù)值的大小,另一個(gè)是各組分布頻數(shù)的多少。在數(shù)值不變的情況下,哪一組的頻數(shù)多,該組的數(shù)值對(duì)平均數(shù)的作用就大,反之哪一組的頻數(shù)少,該組數(shù)值對(duì)平均數(shù)的影響就小。頻數(shù)在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中起著權(quán)衡輕重的作用,這也是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)“加權(quán)”一詞的來(lái)歷。第二,算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。比如有下列資料:5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20,全部資料的平均數(shù)是7.1,實(shí)際上大部分?jǐn)?shù)據(jù)(有10個(gè))不超過7,如果去掉20,則剩下12個(gè)數(shù)的平均數(shù)為6。由此可見,極端值的出現(xiàn),會(huì)使平均數(shù)的真實(shí)性受到干擾。
(四)幾何平均數(shù)
n個(gè)觀察值連乘積的n次方根就是幾何平均數(shù)。根據(jù)資料的條件不同,幾何平均數(shù)也有加權(quán)和不加權(quán)之分。這里只介紹簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)的計(jì)算。
設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1,X2,…,Xn,且大于0, g表示幾何平均數(shù),則:
式中,Ⅱ?yàn)檫B乘積符號(hào)。
例如,某型號(hào)鉆頭的生產(chǎn),需經(jīng)過6道不同的加工工序,各道工序的合格率如表24—2所示,計(jì)算平均合格率。
用幾何平均數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算,得:
各道工序的平均合格率為96.63%。
計(jì)算幾何平均數(shù)要求各觀察值之間存在連乘積關(guān)系,它的主要用途是:①對(duì)比率、指數(shù)等進(jìn)行平均;②計(jì)算平均發(fā)展速度。
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