1. 證明或推翻下列命題：“設(shè)平面上有 100 個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離至少是1，則最多有300 對點(diǎn)距離恰好是1”。

解答與評分標(biāo)準(zhǔn)：

命題成立(2 分)。

無向圖 G=，V 是平面上的這100 個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)相鄰當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)距離恰好是1(2 分)。

每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)不超過 6(3 分)。

根據(jù)握手定律(3 分)，

2|E|=頂點(diǎn)度數(shù)之和≤100*6, 所以這個(gè)圖的邊數(shù)不超過300(2 分)。

2. 所謂 n 維網(wǎng)格就是一個(gè)無向圖G=，其中V={ | 1≤ij≤mj,1≤j≤n}，E={(v1,v2)| v1 和v2 恰好只在一個(gè)坐標(biāo)上相差1}。討論當(dāng)mj 和n 取哪些正整數(shù)值時(shí)，G 是哈密　　頓圖，并給出證明。

解答與評分標(biāo)準(zhǔn)：

分情況討論。注意 G 的頂點(diǎn)數(shù)是m1*m2*m3*…*mn。

(1) 所有mj 都為1：G 是平凡圖，是哈密頓圖(2 分)。

(2) 恰好有一個(gè)mj 大于1：G 是長度大于1 的初級路徑，不是哈密頓圖(2 分)。

(3) 至少有兩個(gè)mj 大于1：G 是偶圖(無奇數(shù)長度回路)(2 分)。

(3a) m1*m2*m3*…*mn 是偶數(shù)：G 是哈密頓圖，用歸納法構(gòu)造哈密頓回路(2 分)。

(3b) m1*m2*m3*…*mn 是奇數(shù)：G 不是哈密頓圖，偶哈密頓圖兩部分頂點(diǎn)數(shù)相等，總頂點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)(2 分)。

3. 證明或推翻下列命題：“任意給定平面上有限個(gè)點(diǎn)，則連接這些點(diǎn)的最短

哈密頓回路的長度不超過連接這些點(diǎn)的最小生成樹(不添加額外頂點(diǎn))的

長度的2 倍。子圖的長度就是這個(gè)子圖上的邊的長度之和?！?/p>

解答與評分標(biāo)準(zhǔn)：

命題成立(2 分)。

(課本圖論部分最后一章定理)先求最小生成樹奇數(shù)度頂點(diǎn)之間的“最小”匹配，加入匹配“邊”得到歐拉圖(3 分)。

沿著歐拉回路前進(jìn)，“抄近路”避開已經(jīng)訪問過的頂點(diǎn)，就得出哈密頓回路(3 分)。

由于距離的三角形不等式，這條哈密頓回路長度不超過最小生成樹長度的2 倍(2 分)。

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（責(zé)任編輯：lqh）

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