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2013年統(tǒng)計師考試統(tǒng)計基礎(chǔ)及知識資料講解(5)

發(fā)表時間:2012/12/29 10:26:49 來源:互聯(lián)網(wǎng) 點擊關(guān)注微信:關(guān)注中大網(wǎng)校微信
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2013年統(tǒng)計師考試時間為10月13日,為了幫助考生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)統(tǒng)計師考試課程,全面了解統(tǒng)計師考試教材重點,小編特編輯了2013年統(tǒng)計師考試統(tǒng)計基礎(chǔ)理論及相關(guān)知識輔導(dǎo)資料,希望對您參加本次考試有所幫助!

參數(shù)估計

抽樣分布

一.總體分布與總體參數(shù)

總體分布是總體中所有觀測值所形成的分布。

總體參數(shù)是對總體特征的某個概括性的度量。通常有總體平均數(shù)()、總體方差()、總體比例(π)等。

二.統(tǒng)計量和抽樣分布

總體參數(shù)是未知的,但可以利用樣本信息來推斷。

統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的用于推斷總體的某些量,是對樣本特征的某個概括性度量。

統(tǒng)計量是樣本的函數(shù),如樣本均值()、樣本方差(s2 )、樣本比例(p)等。

構(gòu)成統(tǒng)計量的函數(shù)中不能包括未知因素。

由于樣本是從總體中隨機抽取的,樣本具有隨機性,由樣本數(shù)據(jù)計算出的統(tǒng)計量也就是隨機的。抽樣分布是樣本統(tǒng)計量所形成的概率分布,如樣本均值的分布、樣本比例的分布等。

在現(xiàn)實中,一個樣本的統(tǒng)計量我們可以觀察到,但不能觀察到所有可能的統(tǒng)計量值,抽樣分布是一種理論分布。

統(tǒng)計量的取值是依據(jù)樣本而變化的,不同的樣本可以計算出不同的統(tǒng)計量值。那么,根據(jù)統(tǒng)計量來推斷總體參數(shù)就必然具有某種不確定性。但我們可以給出這種推斷的可靠性,而度量這種可靠性的依據(jù)是統(tǒng)計量的概率分布,并且我們確知這種分布的某些性質(zhì)。因此,統(tǒng)計量的概率分布提供了該統(tǒng)計量長遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息,它構(gòu)成了推斷總體參數(shù)的理論基礎(chǔ)。

(一)樣本均值的抽樣分布

設(shè)總體共有N個元素,從中隨機抽取一個容量為n的樣本,在重置抽樣時,共有Nn 種抽法,即可以組成Nn不同的樣本,在不重復(fù)抽樣時,共有個可能的樣本。每一個樣本都可以計算出一個均值,這些所有可能的抽樣均值形成的分布就是樣本均值的分布。但現(xiàn)實中不可能將所有的樣本都抽取出來,因此,樣本均值的概率分布實際上是一種理論分布。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)定理已經(jīng)證明:即樣本均值的均值就是總體均值。

在重置抽樣時,樣本均值的方差為總體方的1/n,即在不重置抽樣時,樣本均值的方差為

其中,為修正系數(shù),對于無限總體進(jìn)行不重置抽樣時,可以按照重置抽樣計算,當(dāng)總體為有限總體,N比較大而n/N≥5% 時,修正系數(shù)可以簡化為1-n/N,當(dāng)N比較大,而n/N<5%時,修正系數(shù)可以近似為1,即可以按重置抽樣計算。

當(dāng)總體服從正態(tài)分布時,樣本均值一定服從正態(tài)分布,即有X~N(,)時,

若總體為未知的非正態(tài)分布時,只要樣本容量 n足夠大(通常要求n ≥30),樣本均值仍會接近正態(tài)分布。樣本分布的期望值為總體均值,樣本方差為總體方差的1/n 。這就是統(tǒng)計上著名的中心極限定理。該定理可以表述為:從均值為,方差為的總體中,抽取樣本量為n的隨機樣本,當(dāng)n充分大時(通常要求n ≥30),樣本均值的分布近似服從均值為,方差為的正態(tài)分布。

如果總體不是正態(tài)分布,當(dāng)n為小樣本時(通常n<30),樣本均值的分布則不服從正態(tài)分布。

(二)樣本比例的抽樣分布

比例是指具有某種屬性的單位占全部單位數(shù)的比重。

總體比例(通常用表示)是總體中具有某種屬性的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比例,是一個參數(shù),通常是未知的,也是我們想通過抽樣得到的說明總體特征的數(shù)據(jù)。

樣本比例(通常用p表示)是隨機抽取的樣本中具有某種屬性的單位數(shù)占樣本全部單位數(shù)的比例,是一個樣本統(tǒng)計量,是隨機變量,對于一個已經(jīng)抽取出來的樣本來講,是可以觀察到的。描述所有可能樣本比例的概率分布就是樣本比例的抽樣分布。

當(dāng)樣本容量比較大時,樣本比例p近似服從正態(tài)分布,且有p的數(shù)學(xué)期望就是總體比率π,即

而P的方差與抽樣方法有關(guān),在重置抽樣下為,在不重置抽樣下為

即在重置抽樣時, p的分布為p~N

在不重置抽樣時, p的分布為p~N

一般講,當(dāng) np≥5,并n(1-p)≥5時,就可以認(rèn)為樣本容量足夠大。對于無限總體進(jìn)行不重置抽樣時,可以按照重置抽樣計算,當(dāng)總體為有限總體,當(dāng)N比較大,而n/N 5%時,修正系數(shù)可以近似為1,這時也可以按重置抽樣計算。

從上述分析可以看出,隨著樣本容量的增大,樣本比例的方差愈來愈小,說明樣本比例隨樣本容量增大,圍繞總體比例分布的峰度愈來愈高。

三.統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差

統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤,是指樣本統(tǒng)計量分布的標(biāo)準(zhǔn)差。可用于衡量樣本統(tǒng)計量的離散程度。在參數(shù)估計中,它是用于衡量樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間差距的一個重要尺度。

樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為:

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時,可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替計算,這時計算的標(biāo)準(zhǔn)誤差稱為估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。

相應(yīng)地,樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤計算公式為

同樣,當(dāng)總體比例的方差 π(1-π)未知時,可用樣本比例的方差p(1-p)代替。

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(責(zé)任編輯:xll)

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