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第九講 參數(shù)估計——點估計

一、考試要求

1.熟悉點估計的概念

2.掌握矩法估計方法

3.熟悉點估計優(yōu)良性的標準

4.熟悉二項分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布參數(shù)的點估計

二、 內(nèi)容講解

參數(shù)估計

根據(jù)樣本對總體進行推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心，參數(shù)估計與假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個基本內(nèi)容。本節(jié)著重討論參數(shù)估計問題。

這里所說的參數(shù)主要是指如下幾類：

①分布中的未知參數(shù)，如二項分布b(n，p)中的p，正態(tài)分布 中的 ， 或 。

②分布的均值E(x)、方差Var(x)等未知特征數(shù)。

③其他未知參數(shù)，如某事件的概率P(A)等。

上述未知參數(shù)都需要根據(jù)樣本和參數(shù)的統(tǒng)計含義選擇適宜的統(tǒng)計量并作出估計，這一統(tǒng)計推斷過程通稱為參數(shù)估計。未知參數(shù)通常用 表示。

參數(shù)估計有兩種基本形式：點估計與區(qū)間估計。

一、點估計

(一) 點估計的概念

設(shè) 是總體的一個未知參數(shù)，記與總體對應(yīng)的隨機變量為X，從中抽取樣本量為n的一個樣本 。根據(jù)這個樣本，構(gòu)造一個統(tǒng)計量 ，用 來對 進行估計，稱 為 的點估計量。對一個具體的樣本 ，可計算 的一個具體的數(shù)值，稱為 的估計值。在本教材中，除討論統(tǒng)計量的分布及性質(zhì)外，不嚴格區(qū)分估計量及具體估計值，通稱為估計。

(二)點估計優(yōu)良性標準

點估計量 是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個隨機變量。評價一個估計量 的優(yōu)劣不能從一個具體樣本獲得的估計值來評判，應(yīng)該從多次使用中來評定。

對于一個特定的樣本，估計值 與 的真值之間總是有偏差的，但由于 未知，因此偏差 也未知。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本， 不同的具體估計值，對實際偏差 進行“平均”。當然這種平均不能直接進行，因為 有正有負，直接平均由于正負抵消反而不能反映誤差。與以前對方差處理的方法相仿，用估計偏差的平方 來代替，并對其求均值，于是用 來表示估計量 的優(yōu)劣。這個量稱為 的均方誤差，簡記為MSE( )，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。雖然由于 是未知的，MSE( )也并不是總能求得的。但是經(jīng)過簡單的推導(dǎo)，總有

MSE( )= 。 (交叉乘積項為零)

(三) 求點估計的方法-一矩法估計

參數(shù)估計時，一個直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計，用樣本方差作為總體方差的估計等。由于均值與方差在統(tǒng)計學中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法可用如下兩句話概括：

(1)用樣本矩去估計相應(yīng)的總體矩。

(2)用樣本矩的函數(shù)去估計相應(yīng)總體矩的函數(shù)。

此種獲得未知參數(shù)的點估計的方法稱為矩法估計。

矩法估計簡單而實用，所獲得的估計量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。例如對任何總體，樣本均值 對總體均值 的估計總是無偏的，樣本方差 對總體方差 的估計也總是無偏的。但是應(yīng)該注意到矩法估計不一定總是最有效的，而且有時估計也不惟一。

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（責任編輯：中大編輯）

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