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第十講 參數(shù)估計—— 區(qū)間估計

一、考試要求

1.熟悉區(qū)間估計 (包括置信水平、且信區(qū)間)的概念

2.熟悉正態(tài)總體均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間的求法

3.了解比率p的置信區(qū)間 (大樣本場合)的求法

二、 內(nèi)容講解

第四節(jié) 參數(shù)估計(續(xù))

二、區(qū)間估計

(一) 區(qū)間估計的概念

點估計僅僅給出參數(shù)一個具體的估計值，但是沒有給出估計的精度，而區(qū)間估計是用一個區(qū)間來對未知參數(shù)進行估計，區(qū)間估計體現(xiàn)了估計的精度。

設(shè) 是總體的一個待估參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為 ，記從總體中獲得樣本量為n的樣本為 ，對給定的 ，確定兩個統(tǒng)計量：與若對任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，則稱隨機區(qū)間[ ， ]是 的置信水平為l- 的置信區(qū)間，簡稱[ ， ]是 的l- 的置信區(qū)間， 與 分別稱為的l- 的置信下限與置信上限。

置信區(qū)間的含義是：所構(gòu)造的隨機區(qū)間 覆蓋(蓋住)未知參數(shù) 的概率為 。由于這個隨機區(qū)間隨樣本觀測值的不同而不同，它有時覆蓋了參數(shù) ，有時沒有覆蓋 ，但是用這種方法做區(qū)間估計時，100次中大約有100( )個區(qū)間能覆蓋未知參數(shù) 。圖1.4-1中每一條豎線表示由一個樣本量為4的樣本按給定的 與 求得的一個區(qū)間。重復(fù)抽取100個樣本，就得到100個這樣的區(qū)間，在( )中，100個區(qū)間有51個包含(覆蓋了)參數(shù)真值=50000，這對50%的置信區(qū)間來說是一個合理的偏離;在( )中，100個區(qū)間有90個包含參數(shù)真值=50000，這與90%的置信區(qū)間一致。

如果P( < )=P( > )= /2，則稱這種置信區(qū)間為等尾置信區(qū)間。

下面著重討論正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間及比例p的置信區(qū)間，它們都是等尾置信區(qū)間。

(二)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間

設(shè)總體分布為 ，從中抽取的樣本記為 ，樣本均值為 ，樣本方差為 ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s。

(1)總體均值 的置信區(qū)間的求法： 的估計一般用樣本均值 ，從 的分布來構(gòu)造置信區(qū)間。

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 已知時，利用正態(tài)分布可得 的l- 置信區(qū)間為：

今后也記為 ，其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)。

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知時， 用其估計s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：

其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位數(shù)。

(2)總體方差 與標(biāo)準(zhǔn)差 的置信區(qū)間的求法： 的估計常用樣本方差 ，因此從 的分布來構(gòu)造置信區(qū)間。

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